Question

Решите неравенство log x^2(3-2x)>1

Answer 1

Для решения неравенства log x^2(3-2x) > 1, сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. ОДЗ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным, то есть x^2(3-2x) > 0. Это неравенство можно решить методом интервалов, получая следующие корни: x = 0, x = 1.5 и x = 3. Тогда ОДЗ будет состоять из трех интервалов: (-∞, 0), (0, 1.5) и (3, +∞).

Теперь, когда мы знаем ОДЗ, мы можем перейти к решению исходного неравенства. Для этого применим свойство логарифма, что log a^b = b log a, и получим:

log x^2(3-2x) > 1 2 log x(3-2x) > 1 log x(3-2x) > 0.5

Затем возведем обе части неравенства в степень по основанию логарифма, то есть 10, и получим:

x(3-2x) > 10^0.5 x(3-2x) > √10

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получая квадратное неравенство:

-2x^2 + 3x - √10 > 0

Для решения этого неравенства найдем его дискриминант:

D = b^2 - 4ac D = 3^2 - 4(-2)(-√10) D = 9 - 8√10

Так как D < 0, то у неравенства нет действительных корней, и оно не имеет решений на ОДЗ. Однако, если мы рассмотрим комплексные корни, то мы получим:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (-3 ± √(9 - 8√10)) / (-4) x1,2 = (3 ± i√(8√10 - 9)) / 4

Тогда решением неравенства будут два комплексных числа:

x1 = (3 + i√(8√10 - 9)) / 4 x2 = (3 - i√(8√10 - 9)) / 4

Если вы хотите проверить свой ответ или увидеть другие способы решения этого неравенства, вы можете использовать один из следующих онлайн-калькуляторов:

- Калькулятор Неравенств - Symbolab - Logarithms Calculator - Symbolab - Решение логарифмических уравнений

Надеюсь, это помогло вам понять, как решать такие неравенства. Спасибо за ваш вопрос!