Question

Исследуйте сходимость числового ряда при помочи интегрального признака: ∞ ∑ n=1

Answer 1

Для исследования сходимости числового ряда при помощи интегрального признака, нам нужно рассмотреть положительную монотонную убывающую функцию f(x), такую что f(n) = a(n), где a(n) - общий член ряда. Затем мы должны проинтегрировать эту функцию на интервале от 1 до бесконечности и проанализировать полученный интеграл.

Интегральный признак утверждает, что если интеграл от f(x) на интервале от 1 до бесконечности сходится, то исходный ряд сходится. И наоборот, если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Теперь рассмотрим ваш ряд ∑ n=1 до бесконечности a(n).

Используем интегральный признак, возьмем функцию f(x) = 1/x. Заметим, что эта функция положительна и монотонно убывает на интервале [1, ∞). Также, если мы возьмем a(n) = 1/n, то f(n) = a(n).

Теперь проинтегрируем функцию f(x) на интервале [1, ∞):

∫(от 1 до ∞) 1/x dx = lim(верхняя граница -> ∞) ln(x) |(от 1 до верхняя граница) = lim(верхняя граница -> ∞) ln(верхняя граница) - ln(1) = ∞ - 0 = ∞.

Интеграл расходится, следовательно, исходный ряд ∑ n=1 до бесконечности a(n) также расходится.

Вывод:

Используя интегральный признак, мы обнаружили, что данный числовой ряд расходится.