Question

(1/2)^х-6 = 4^х ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!

Answer 1

Давайте решим уравнение: \((1/2)^x - 6 = 4^x\).

1. Начнем с приведения обеих сторон уравнения к общему знаменателю. Заметим, что \((1/2)^x\) можно представить как \(\frac{1}{2^x}\). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

\[\frac{1}{2^x} - 6 = 4^x.\]

2. Теперь уберем знаменатель, умножив обе стороны на \(2^x\):

\[1 - 6 \cdot 2^x = (2^2)^x,\]

что равносильно

\[1 - 6 \cdot 2^x = 2^{2x}.\]

3. Теперь приведем подобные слагаемые, вычитая \(1\) с обеих сторон:

\[-6 \cdot 2^x = 2^{2x} - 1.\]

4. Теперь давайте преобразим правую часть уравнения, выделив \(2^{2x}\):

\[-6 \cdot 2^x = (2^x)^2 - 1.\]

5. Теперь подставим \(u = 2^x\):

\[-6u = u^2 - 1.\]

6. Переносим все члены в одну сторону:

\[u^2 + 6u - 1 = 0.\]

7. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта:

\[\Delta = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 1\), \(b = 6\), и \(c = -1\).

\[\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40.\]

8. Так как \(\Delta > 0\), у нас есть два корня:

\[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.\]

\[u_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2}.\]

Таким образом,

\[u_1 = -3 + \sqrt{10}, \quad u_2 = -3 - \sqrt{10}.\]

9. Теперь вернемся к переменной \(x\) и решим для нее:

\[2^x = -3 + \sqrt{10} \quad \text{и} \quad 2^x = -3 - \sqrt{10}.\]

Теперь можно использовать логарифмы, чтобы найти значения \(x\).

Для первого уравнения:

\[x = \log_2(-3 + \sqrt{10}).\]

Для второго уравнения:

\[x = \log_2(-3 - \sqrt{10}).\]

Обратите внимание, что оба уравнения имеют отрицательные значения под логарифмом, что делает их недействительными для действительных чисел. Таким образом, это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.