Question

Помогите пожалуйста решить неравинство2x²-7x+6>0

Answer 1

Для решения неравенства \(2x^2 - 7x + 6 > 0\), мы можем использовать метод интервалов или метод знаков.

1. Метод интервалов: - Начнем с нахождения корней уравнения \(2x^2 - 7x + 6 = 0\). Мы можем использовать квадратное уравнение для этого. - Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) корни можно найти по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). - В данном случае, у нас есть уравнение \(2x^2 - 7x + 6 = 0\). Подставим значения в формулу и найдем корни.

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}\]

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}\]

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{4}\]

\[x = \frac{7 \pm 1}{4}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = \frac{8}{4} = 2\) и \(x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

- Теперь используем найденные корни для разбиения числовой прямой на интервалы. Интервалы будут следующими: \((-\infty, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, 2), (2, +\infty)\). - Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале. - Подставим \(x = 0\) (любое число меньше \(\frac{3}{2}\)): \(2 \cdot (0)^2 - 7 \cdot 0 + 6 > 0\) (положительно). - Подставим \(x = \frac{5}{2}\) (любое число между \(\frac{3}{2}\) и \(2\)): \(2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 7 \cdot \frac{5}{2} + 6 > 0\) (положительно). - Подставим \(x = 3\) (любое число больше \(2\)): \(2 \cdot (3)^2 - 7 \cdot 3 + 6 > 0\) (положительно).

- Таким образом, неравенство \(2x^2 - 7x + 6 > 0\) верно для всех значений \(x\) из интервалов \((-\infty, \frac{3}{2})\) и \((2, +\infty)\).

2. Метод знаков: - Используем тот факт, что многочлен \(2x^2 - 7x + 6\) не меняет знак при прохождении через корень квадратного уравнения. - Поставим знаки внутри уравнения для каждого интервала между корнями. - Подставим какую-то точку из каждого интервала в уравнение и определим знак:

- В интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\), можно взять \(x = 0\), получим \(2 \cdot (0)^2 - 7 \cdot 0 + 6 = 6 > 0\). - В интервале \((\frac{3}{2}, 2)\), можно взять \(x = \frac{5}{2}\), получим \(2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 7 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{5}{2} > 0\). - В интервале \((2, +\infty)\), можно взять \(x = 3\), получим \(2 \cdot (3)^2 - 7 \cdot 3 + 6 = 6 > 0\).

- Таким образом, знак выражения \(2x^2 - 7x + 6\) положителен в каждом интервале, что соответствует решению \(2x^2 - 7x + 6 > 0\) для всех значений \(x\) в этих интервалах.