Question

Решите систему уравнений (x+1)(x^2-x+1)-x(x^2+4)<=9 (x-3)(x+1)-(x-4)(x+4)>=3

Answer 1

Для решения данной системы уравнений начнем с первого неравенства:

(x+1)(x^2-x+1)-x(x^2+4) <= 9

Раскрывая скобки, получим:

x^3 + x^2 - x + 1 - x^3 - 4x <= 9

Упрощаем:

x^2 - 5x + 1 <= 9

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 5x - 8 <= 0

Теперь решим второе неравенство:

(x-3)(x+1)-(x-4)(x+4) >= 3

Раскрываем скобки:

x^2 - 2x - 3 - (x^2 - 16) >= 3

Упрощаем:

-2x + 13 >= 3

Переносим все в одну сторону:

-2x >= -10

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

2x <= 10

Теперь рассмотрим оба неравенства отдельно:

1) x^2 - 5x - 8 <= 0

Для начала найдем корни квадратного уравнения:

x^2 - 5x - 8 = 0

Применяем квадратное уравнение:

x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*1*(-8))) / (2*1)

x = (5 ± √(25 + 32)) / 2

x = (5 ± √57) / 2

Теперь рассмотрим знаки в интервалах между корнями и за пределами корней:

a) x < (5 - √57) / 2

Подставляем произвольное значение из интервала, например x = 0:

0^2 - 5*0 - 8 <= 0

-8 <= 0

Условие выполняется.

b) (5 - √57) / 2 < x < (5 + √57) / 2

Подставляем произвольное значение из интервала, например x = 3:

3^2 - 5*3 - 8 <= 0

-8 <= 0

Условие выполняется.

c) x > (5 + √57) / 2

Подставляем произвольное значение из интервала, например x = 6:

6^2 - 5*6 - 8 <= 0

-8 <= 0

Условие выполняется.

Таким образом, первое неравенство выполняется для всех значений x.

2) 2x <= 10

x <= 5

Второе неравенство выполняется для всех значений x, меньших или равных 5.

Итак, решением системы уравнений является множество всех значений x, которые удовлетворяют обоим неравенствам:

x <= 5