Question

Реши уравнения |2/x|=1/3; |3/y|=5/6 ; |4/x|=8/9.

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем их решения.

1. \( \left| \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{3} \):

Начнем с устранения знака модуля, умножив обе стороны уравнения на знаменатель выражения в модуле (3):

\( 3 \cdot \left| \frac{2}{x} \right| = 3 \cdot \frac{1}{3} \)

Получаем \( |6/x| = 1 \). Теперь устраняем модуль:

1.1. \( \frac{6}{x} = 1 \) => \( x = 6 \)

1.2. \( \frac{6}{x} = -1 \) => \( x = -6 \)

Таким образом, уравнение \( \left| \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{3} \) имеет два решения: \( x = 6 \) и \( x = -6 \).

2. \( \left| \frac{3}{y} \right| = \frac{5}{6} \):

Аналогично устраняем модуль:

\( |3/y| = \frac{5}{6} \)

2.1. \( \frac{3}{y} = \frac{5}{6} \) => \( y = \frac{18}{5} \)

2.2. \( \frac{3}{y} = -\frac{5}{6} \) => \( y = -\frac{18}{5} \)

Таким образом, уравнение \( \left| \frac{3}{y} \right| = \frac{5}{6} \) имеет два решения: \( y = \frac{18}{5} \) и \( y = -\frac{18}{5} \).

3. \( \left| \frac{4}{x} \right| = \frac{8}{9} \):

Аналогично устраняем модуль:

\( |4/x| = \frac{8}{9} \)

3.1. \( \frac{4}{x} = \frac{8}{9} \) => \( x = \frac{9}{2} \)

3.2. \( \frac{4}{x} = -\frac{8}{9} \) => \( x = -\frac{9}{2} \)

Таким образом, уравнение \( \left| \frac{4}{x} \right| = \frac{8}{9} \) имеет два решения: \( x = \frac{9}{2} \) и \( x = -\frac{9}{2} \).

Итак, общее множество решений состоит из всех найденных значений:

\[ \{ x = 6, x = -6, y = \frac{18}{5}, y = -\frac{18}{5}, x = \frac{9}{2}, x = -\frac{9}{2} \} \]