Question

Решите уранение: x^4-1=0

Answer 1

Для решения уравнения x^4 - 1 = 0, мы можем использовать метод факторизации разности квадратов. Этот метод основан на формуле a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), где a и b - любые числа.

В нашем случае, у нас имеется разность квадратов x^4 и 1. Мы можем представить x^4 как (x^2)^2, а 1 как 1^2. Тогда уравнение принимает следующий вид:

(x^2)^2 - 1^2 = 0

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов:

[(x^2) - 1][(x^2) + 1] = 0

Теперь у нас есть произведение двух выражений, равное нулю. Чтобы весьма произведение было равно нулю, одно или оба выражения должны быть равны нулю. То есть:

(x^2) - 1 = 0 или (x^2) + 1 = 0

Решим каждое из этих уравнений по отдельности:

1. (x^2) - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

(x^2) = 1

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

x^2 = 1

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

x = ±1

Таким образом, первое уравнение имеет два решения: x = 1 и x = -1.

2. (x^2) + 1 = 0

Вычтем 1 из обеих сторон уравнения:

x^2 = -1

Здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как квадрат любого реального числа не может быть отрицательным. Вместо этого, мы можем использовать мнимые числа.

Мнимое число i определяется как i^2 = -1. Таким образом, мы можем записать уравнение как:

x^2 + 1 = 0 (x^2) + (i^2) = 0 (x + i)(x - i) = 0

Таким образом, второе уравнение имеет два решения: x = i и x = -i.

В итоге, уравнение x^4 - 1 = 0 имеет четыре решения: x = 1, x = -1, x = i и x = -i.