Question

Найти область значения функции f(x)=|x-1| + |x-3|

Answer 1

Область значения функции f(x)=|x-1| + |x-3| - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать при подстановке различных значений x. Чтобы найти область значения, нужно рассмотреть два случая:

1. Если x ≤ 1, то |x-1| = -(x-1) и |x-3| = -(x-3). Тогда f(x) = -(x-1) - (x-3) = -2x + 4. Эта функция является линейной и убывающей, поэтому ее наименьшее значение будет при x = 1, а именно f(1) = 2. Ее наибольшее значение будет при x стремящемся к минус бесконечности, а именно f(x) стремится к плюс бесконечности. Таким образом, в этом случае область значения f(x) - это интервал [2, +∞).

2. Если x > 1, то |x-1| = x-1 и |x-3| = x-3, если x ≥ 3, или |x-1| = x-1 и |x-3| = -(x-3), если 1 < x < 3. В обоих случаях f(x) = |x-1| + |x-3| = 2x - 4. Эта функция также является линейной и возрастающей, поэтому ее наименьшее значение будет при x = 1, а именно f(1) = -2. Ее наибольшее значение будет при x стремящемся к плюс бесконечности, а именно f(x) стремится к плюс бесконечности. Таким образом, в этом случае область значения f(x) - это интервал (-2, +∞).

Объединяя оба случая, получаем, что область значения функции f(x)=|x-1| + |x-3| - это интервал (-2, +∞). Это означает, что функция может принимать любое значение, большее, чем -2.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти область значения функции, состоящей из модулей. Если вы хотите узнать больше о модулях и их свойствах, вы можете посмотреть [этот сайт](https://www.mathway.com/popular-problems/Calculus/555247) или [этот видеоурок](https://www.mathway.com/popular-problems/Calculus/555002). Если вы хотите попрактиковаться в решении задач с модулями, вы можете попробовать [эти упражнения](https://www.mathway.com/popular-problems/Algebra/278951). Желаю вам успехов в изучении математики!

Answer 2

Для того, чтобы найти область значений функции f(x)=|x-1| + |x-3|, нужно рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака модулей. Составим таблицу возможных случаев:

| x | |x-1| | |x-3| | f(x) | |---|---|---|---|---|---| | x < 1 | -(x-1) | -(x-3) | -2x+4 | | 1 <= x < 3 | x-1 | -(x-3) | 4-x | | x >= 3 | x-1 | x-3 | 2x-4 |

Из таблицы видно, что функция f(x) является кусочно-линейной и имеет три линейных участка. На каждом участке функция f(x) принимает все значения от минимального до максимального. Минимальные и максимальные значения функции f(x) находятся в точках перегиба, то есть в точках x=1 и x=3. Подставим эти значения в функцию f(x) и получим:

f(1) = |1-1| + |1-3| = 0 + 2 = 2 f(3) = |3-1| + |3-3| = 2 + 0 = 2

Таким образом, область значений функции f(x)=|x-1| + |x-3| состоит из трех интервалов:

(-∞, 2) ∪ [2, 4) ∪ (4, +∞)

Если вы хотите проверить свой ответ или посмотреть другие способы решения этой задачи, вы можете воспользоваться онлайн-калькуляторами, например, [Limit Calculator](https://www.mathway.com/Calculator/limit-calculator), [Find the Absolute Max and Min over the Interval](https://www.mathway.com/popular-problems/Calculus/555002) или [Find the Domain and Range](https://www.mathway.com/popular-problems/Algebra/278951). Они помогут вам найти пределы, экстремумы и области определения и значений различных функций.