Question

Вычислить неопределенный интеграл ∫ x√x+1 dx

Answer 1

Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫(x√(x+1))dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям или подставить подходящую замену. Давайте воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на формуле: ∫(u * v)dx = u * ∫vdx - ∫(u' * ∫vdx)dx, где u и v - функции, а u' и v' - их производные.

В данном случае, давайте выберем u = √(x+1) и dv = xdx. Тогда du = (1/2)(x+1)^(-1/2)dx и v = (1/2)x^2.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - ∫((1/2)x^2 * (1/2)(x+1)^(-1/2))dx

Упрощая это выражение, получаем:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/4)∫(x^2 * (x+1)^(-1/2))dx

Мы можем продолжить интегрирование подынтегральной функции (x^2 * (x+1)^(-1/2)) снова, применяя метод интегрирования по частям. В этом случае, мы выбираем u = x^2 и dv = (x+1)^(-1/2)dx. Тогда du = 2x dx и v = 2(x+1)^(1/2).

Применяя формулу интегрирования по частям ещё раз, получаем:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/4) * [(2x * 2(x+1)^(1/2)) - ∫(2 * (2(x+1)^(1/2))]dx

Упрощая это выражение, получаем:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/2)x * (x+1)^(1/2) + ∫(x+1)^(1/2)dx

Теперь мы можем проинтегрировать последний член. Для этого, мы можем использовать замену переменных, где t = x+1. Тогда dt = dx и наше выражение принимает вид:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/2)x * (x+1)^(1/2) + ∫t^(1/2)dt

Интегрируя t^(1/2), получаем:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/2)x * (x+1)^(1/2) + (2/3)t^(3/2) + C

Возвращаясь к исходным переменным, получаем:

∫(x√(x+1))dx = (1/2)x^2 * √(x+1) - (1/2)x * (x+1)^(1/2) + (2/3)(x+1)^(3/2) + C

где C - произвольная постоянная.