Question

Исследовать функцию y=x^3-48x+14 на экстремумы (если есть возможность, прикрепите фото с решением)

Answer 1

Чтобы исследовать функцию \(y = x^3 - 48x + 14\) на экстремумы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Решить уравнение \(y'\) = 0 для нахождения критических точек. 3. Использовать вторую производную и критерий знаков для определения характера экстремума (минимума или максимума).

Шаг 1: Найти производную функции \(y = x^3 - 48x + 14\).

\[y' = 3x^2 - 48\]

Шаг 2: Решить уравнение \(3x^2 - 48 = 0\) для нахождения критических точек.

\[3x^2 - 48 = 0\]

\[x^2 - 16 = 0\]

\[x = \pm 4\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 4\) и \(x = -4\).

Шаг 3: Используем вторую производную и критерий знаков.

\[y'' = 6x\]

Подставим значения \(x = 4\) и \(x = -4\) во вторую производную:

\[y''(4) = 6 \cdot 4 = 24\] \[y''(-4) = 6 \cdot (-4) = -24\]

Если \(y'' > 0\), то у функции минимум; если \(y'' < 0\), то у функции максимум.

Для \(x = 4\): \(y''(4) > 0\) (положительное число), следовательно, у функции есть минимум при \(x = 4\).

Для \(x = -4\): \(y''(-4) < 0\) (отрицательное число), следовательно, у функции есть максимум при \(x = -4\).

Таким образом, функция \(y = x^3 - 48x + 14\) имеет минимум при \(x = 4\) и максимум при \(x = -4\).

Чтобы найти значения функции в этих точках и точках экстремума, подставим \(x\) в исходную функцию \(y = x^3 - 48x + 14\):

Для \(x = 4\):

\[y(4) = 4^3 - 48 \cdot 4 + 14\]

Для \(x = -4\):

\[y(-4) = (-4)^3 - 48 \cdot (-4) + 14\]

Эти значения позволят вам найти конкретные координаты точек экстремума. Если у вас есть конкретные значения, я могу помочь вам выполнить дополнительные вычисления.