Question

Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5, а в третьем – 2 вакантных места?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и формулу для размещения с повторениями, так как выпускники не различаются друг от друга.

Пусть A, B и C - это три района. У нас есть 15 выпускников, и мы должны распределить их по этим районам. Поскольку в одном из районов 8 мест, в другом - 5, а в третьем - 2, то у нас есть 15 - (8 + 5 + 2) = 0 свободных мест.

Обозначим количество выпускников, которых мы распределяем в каждом из районов, через \( x_1, x_2 \) и \( x_3 \). Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ x_1 + x_2 + x_3 = 15 \]

Теперь мы можем использовать формулу для размещения с повторениями:

\[ N = (n + r - 1)! / (r!(n-1)!) \]

Где: - \( N \) - количество способов разместить объекты, - \( n \) - общее количество объектов, - \( r \) - количество групп, в которые мы хотим разместить объекты.

В нашем случае \( n = 15 \) (выпускники) и \( r = 3 \) (районы). Подставим значения и рассчитаем:

\[ N = (15 + 3 - 1)! / (3!(15-1)!) \]

\[ N = 17! / (3! * 14!) \]

\[ N = (17 * 16 * 15) / (3 * 2) \]

\[ N = 680 \]

Таким образом, существует 680 способов распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8 мест, в другом – 5, а в третьем – 2 вакантных места.