Question

вычислить площадь криволинейнойвычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y=x^2-1, y=0, x=2, x=3

Answer 1

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x^2 - 1, y = 0, x = 2, x = 3, мы можем использовать определенный интеграл.

Первым шагом будет найти точки пересечения кривых.

1. Найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 1 с осью x, приравнивая y к нулю: x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

2. Найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 1 с вертикальными линиями x = 2 и x = 3. Подставим значения x в уравнение кривой: Для x = 2: y = 2^2 - 1 = 3 Для x = 3: y = 3^2 - 1 = 8

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, мы можем разбить ее на две части - прямоугольник и площадь между криволинейной кривой и осью x.

1. Площадь прямоугольника: Ширина прямоугольника равна разности значений x, то есть 3 - 2 = 1. Высота прямоугольника равна значению y на оси x = 3, то есть 8. Площадь прямоугольника равна ширина * высота = 1 * 8 = 8.

2. Площадь между криволинейной кривой и осью x: Мы можем выразить криволинейную кривую в виде y = f(x), где f(x) = x^2 - 1. Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от x = 2 до x = 3 для функции f(x): ∫[2,3] (x^2 - 1) dx

Для вычисления этого интеграла, найдем первообразную функции (x^2 - 1): F(x) = (1/3)x^3 - x + C

Теперь вычислим значение интеграла: ∫[2,3] (x^2 - 1) dx = F(3) - F(2) = [(1/3)(3)^3 - (3)] - [(1/3)(2)^3 - (2)] = (1/3)(27) - 3 - (1/3)(8) + 2 = 9 - 3 - (8/3) + 2 = 6 - (8/3) = 10/3

Итак, площадь между криволинейной кривой и осью x равна 10/3.

Теперь, чтобы найти общую площадь криволинейной трапеции, мы складываем площадь прямоугольника и площадь между криволинейной кривой и осью x: Общая площадь = площадь прямоугольника + площадь между криволинейной кривой и осью x = 8 + 10/3 = 34/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x^2 - 1, y = 0, x = 2, x = 3, равна 34/3 или приблизительно 11.33 квадратных единиц.