Question

На доске выписаны числа 1,2,3,....,10. За ход пару чисел (a,b) заменяют на число 3ab+a+b. Каким может быть последнее оставшееся число?

Answer 1

Для решения этой задачи можно применить метод математической индукции.

Пусть на первом шаге у нас есть пара чисел (1,2). По условию задачи, мы заменяем эту пару на число 3*1*2+1+2=9. Теперь у нас есть последовательность чисел: 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

На втором шаге мы заменяем пару (3,3) на число 3*3*3+3+3=33. Теперь у нас есть последовательность чисел: 33, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

На третьем шаге мы заменяем пару (33,4) на число 3*33*4+33+4=421. Теперь у нас есть последовательность чисел: 421, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Мы видим, что после каждого шага последовательность чисел сокращается на один элемент. Таким образом, если мы продолжим этот процесс, то на шестом шаге у нас останется только одно число, и это число будет нашим ответом.

На шестом шаге у нас будет пара (9,10). Заменяем ее на число 3*9*10+9+10=309. Теперь у нас остается только число 309.

Таким образом, последнее оставшееся число может быть равно 309.