Question

найти в градусах острый угол между осью абсцисс и касательной к графику функции у=е^(-x) ×sinх , проведенной через точку с абсциссой х=0

Answer 1

Для того, чтобы найти острый угол между осью абсцисс и касательной к графику функции, нужно сначала найти уравнение касательной в заданной точке, а затем найти угловой коэффициент касательной, который равен тангенсу этого угла.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид:

y = f'(x0)(x - x0) + f(x0),

где f'(x0) — производная функции f(x) в точке x0.

В данном случае, функция f(x) = e^(-x) × sin x, а точка x0 = 0. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = (e^(-x) × sin x)' = e^(-x) × (sin x)' + (e^(-x))' × sin x = e^(-x) × cos x - e^(-x) × sin x.

Подставим x0 = 0 в производную и в исходную функцию:

f'(0) = e^(-0) × cos 0 - e^(-0) × sin 0 = 1 × 1 - 1 × 0 = 1.

f(0) = e^(-0) × sin 0 = 1 × 0 = 0.

Тогда уравнение касательной в точке x0 = 0 будет:

y = 1 × (x - 0) + 0 = x.

Угловой коэффициент касательной равен 1, а тангенс угла между касательной и осью абсцисс также равен 1. Значит, этот угол равен 45°. Это и есть искомый острый угол.

Ответ: острый угол между осью абсцисс и касательной к графику функции у = е^(-x) × sin x, проведенной через точку с абсциссой х = 0, равен 45°.