Question

Упростите выражение:sin^2a-cos^2a/sina*cosa

Answer 1

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Исходное выражение: \(\frac{\sin^2a - \cos^2a}{\sin a \cos a}\)

Тригонометрическое тождество \( \sin^2x - \cos^2x = -\cos 2x \), поэтому:

\[ \frac{\sin^2a - \cos^2a}{\sin a \cos a} = \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a} \]

Теперь упростим выражение в числителе:

\[ \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a} = -\frac{\cos 2a}{\sin a \cos a} \]

Теперь воспользуемся тождеством \( \cos 2x = \cos^2x - \sin^2x \):

\[ -\frac{\cos 2a}{\sin a \cos a} = -\frac{\cos^2a - \sin^2a}{\sin a \cos a} \]

Теперь можно разложить числитель:

\[ -\frac{\cos^2a - \sin^2a}{\sin a \cos a} = -\frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\sin a \cos a} \]

И, наконец, сокращаем общие множители:

\[ -\frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\sin a \cos a} = -\frac{\cancel{(\cos a + \sin a)}(\cos a - \sin a)}{\cancel{\sin a} \cos a} = -\frac{\cos a - \sin a}{\cos a} \]

Таким образом, упрощенное выражение:

\[ -\frac{\cos a - \sin a}{\cos a} \]