Question

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути − со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Answer 1

Пусть \(V_1\) - скорость первого автомобиля (в км/ч), а \(V_2\) - скорость второго автомобиля (в км/ч).

Обозначим \(S\) - расстояние между пунктами A и B (в км).

Первый автомобиль проехал весь путь со скоростью \(V_1\), и второй проехал первую половину пути со скоростью \(V_2 - 13\) (меньше скорости первого на 13 км/ч) и вторую половину пути со скоростью \(78\) км/ч.

Таким образом, время, которое потратил первый автомобиль, равно \(t = \frac{S}{V_1}\).

Для второго автомобиля время, потраченное на первую половину пути (\(t_1\)), равно \(t_1 = \frac{S/2}{V_2 - 13}\), а время на вторую половину пути (\(t_2\)) равно \(t_2 = \frac{S/2}{78}\).

Также известно, что оба автомобиля прибыли в пункт B одновременно. Таким образом:

\[t_1 + t_2 = t\]

\[\frac{S/2}{V_2 - 13} + \frac{S/2}{78} = \frac{S}{V_1}\]

Теперь можно решить это уравнение относительно \(V_1\).

Умножим обе стороны на \(78(V_2 - 13)\):

\[78 \cdot \frac{S}{2} + \frac{S}{2} \cdot \frac{78}{V_2 - 13} = S \cdot 78 \cdot \frac{1}{V_1}\]

Упростим:

\[39S + \frac{39S}{V_2 - 13} = 78S \cdot \frac{1}{V_1}\]

Разделим обе стороны на 39S:

\[1 + \frac{1}{V_2 - 13} = 2 \cdot \frac{1}{V_1}\]

Теперь решим относительно \(V_1\):

\[\frac{1}{V_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(V_2 - 13)}\]

\[V_1 = \frac{2(V_2 - 13)}{3}\]

Мы знаем, что \(V_1 > 48\), поэтому:

\[\frac{2(V_2 - 13)}{3} > 48\]

Умножим обе стороны на 3:

\[2(V_2 - 13) > 144\]

Раскроем скобки:

\[2V_2 - 26 > 144\]

\[2V_2 > 170\]

\[V_2 > 85\]

Таким образом, скорость второго автомобиля (\(V_2\)) должна быть больше 85 км/ч.