Question

В параллелограмме A B C D сторона B C в 4 раз больше стороны A B. Биссектрисы углов angle D A B и angle A B C пересекают прямую C D в точках M и N соответственно. Найдите периметр параллелограмма A B C D, если M N = 14.

Answer 1

Для начала, давайте обозначим стороны параллелограмма:

Пусть \(AB = a\), \(BC = b\) (так как \(BC\) в 4 раза больше \(AB\), то \(BC = 4a\)), \(CD = c\) и \(DA = d\).

Теперь нам нужно найти значения этих сторон. Из условия \(BC = 4a\) можно заметить, что \(b = 4a\). Также известно, что \(AD = BC\), поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, так что \(d = 4a\) также.

Теперь мы знаем, что стороны параллелограмма \(ABCD\) равны \(a\), \(4a\), \(c\) и \(4a\) соответственно.

С учетом этого, давайте обратимся к биссектрисам углов. Биссектриса угла \(DAB\) делит сторону \(AD\) на две части пропорционально другим сторонам параллелограмма. Таким образом, \(AM/MD = AD/BC = 4a/4a = 1\). Так как \(AM = MD\), то \(AM = MD = 7\).

Аналогично, биссектриса угла \(ABC\) делит сторону \(BC\) на две части пропорционально другим сторонам параллелограмма. Значит, \(BN/NC = BC/AD = 4a/4a = 1\), откуда \(BN = NC = 7\).

Теперь мы знаем, что \(AM = MD = 7\) и \(BN = NC = 7\). Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон.

Таким образом, периметр \(P\) равен:

\[P = AB + BC + CD + DA = a + 4a + c + 4a = 10a + c\]

Также из условия дано, что \(M + N = 14\). Мы нашли, что \(AM = MD = 7\) и \(BN = NC = 7\). Следовательно, \(AD = AM + MD = 7 + 7 = 14\), и \(BC = BN + NC = 7 + 7 = 14\).

Таким образом, \(AD = BC = 14\), что означает, что \(c = 14\), \(a = 14 / 10 = 1.4\).

Теперь мы можем найти периметр:

\[P = 10a + c = 10(1.4) + 14 = 14 + 14 = 28\]

Итак, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен 28.