Question

На футбольный матч были проданы все билеты в первый ряд, причем, по ошибке, на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 854. На какое место продано два билета?

Answer 1

Пусть номер места, на которое были проданы два билета, равен х. Тогда сумма номеров остальных мест будет равна 854 - х.

Так как все билеты в первый ряд были проданы, то сумма номеров мест в первом ряду равна 1 + 2 + 3 + ... + (х - 1) + (х + 1) + (х + 2) + ... + (854 - х).

По формуле суммы арифметической прогрессии с n элементами: S = (n/2)(a + b), где S - сумма, n - количество элементов, а и b - первый и последний элементы соответственно.

В данном случае первый элемент равен 1, а последний элемент равен 854 - х. Количество элементов равно 854 - 1 = 853.

Таким образом, сумма номеров мест в первом ряду равна (853/2)(1 + (854 - х)), а сумма номеров остальных мест равна (853/2)((х - 1) + (х + 1) + (х + 2) + ... + (854 - х)).

Из условия задачи известно, что сумма номеров мест в первом ряду равна сумме номеров остальных мест: (853/2)(1 + (854 - х)) = (853/2)((х - 1) + (х + 1) + (х + 2) + ... + (854 - х)).

Упрощаем уравнение: (853/2)(854 - х + 1) = (853/2)(х - 1 + х + 2 + ... + 854 - х).

Раскрываем скобки: (853/2)(855 - х) = (853/2)(853).

Сокращаем на (853/2): 855 - х = 853.

Вычитаем 855 из обеих частей уравнения: -х = -2.

Меняем знак у обеих частей: х = 2.

Таким образом, два билета были проданы на место с номером 2.