Question

Вычислить площадь фигуры, онраниченной указанными линиями. Сделать график У=Х^2+4Х+3; У=Х+3

Answer 1

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя графиками \(y = x^2 + 4x + 3\) и \(y = x + 3\), нужно найти точки их пересечения. Площадь фигуры будет равна разности интегралов этих функций от точки пересечения до другой точки пересечения.

1. Найдем точки пересечения: \[ x^2 + 4x + 3 = x + 3 \]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[ x^2 + 3x = 0 \]

Факторизуем:

\[ x(x + 3) = 0 \]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = -3\).

2. Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Подставим \(x = 0\) и \(x = -3\) в обе функции:

Для \(y = x^2 + 4x + 3\): - При \(x = 0\): \(y = 3\) - При \(x = -3\): \(y = 0\)

Для \(y = x + 3\): - При \(x = 0\): \(y = 3\) - При \(x = -3\): \(y = 0\)

Получили две точки пересечения: (0, 3) и (-3, 0).

3. Теперь вычислим площадь фигуры: Площадь будет равна разности интегралов этих функций от \(x = -3\) до \(x = 0\) (от точки пересечения до точки пересечения).

\[ S = \int_{-3}^{0} [(x^2 + 4x + 3) - (x + 3)] \,dx \]

Выполним интегрирование:

\[ S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) \,dx \]

Получим значение \(S\).

4. Построим график: На основе найденных точек пересечения и вычисленной площади можно построить график обеих функций и выделить область между ними.

В программе для построения графиков, такой как Matplotlib в Python, код может выглядеть примерно так:

   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt
   from scipy.integrate import quad

# Определение функций
   def f1(x):
       return x**2 + 4*x + 3

def f2(x):
       return x + 3

# Найденные точки пересечения
   x_intersection = np.array([-3, 0])
   y_intersection = np.array([0, 3])

# Вычисление площади между кривыми
   def integrand(x):
       return f1(x) - f2(x)

area, _ = quad(integrand, -3, 0)

# Построение графика
   x = np.linspace(-5, 2, 1000)
   plt.plot(x, f1(x), label='y = x^2 + 4x + 3')
   plt.plot(x, f2(x), label='y = x + 3')
   plt.fill_between(x, f1(x), f2(x), where=[(xi >= -3) and (xi <= 0) for xi in x], color='gray', alpha=0.5, label='Area between curves')
   plt.scatter(x_intersection, y_intersection, color='red', label='Intersection points')
   plt.title(f'Area between curves: {area:.2f}')
   plt.legend()
   plt.show()
   

Обратите внимание, что для построения графика используются библиотеки numpy, matplotlib и scipy.integrate в Python.