Question

Диагонали ромба относятся как 12:5, а разность их длин составляет 22,4 см. Периметр ромба равен 83,2 см. Найди высоту ромба.

Answer 1

Давайте обозначим длину одной из диагоналей ромба через \(d_1\), а другой — через \(d_2\). Известно, что их отношение равно 12:5:

\[\frac{d_1}{d_2} = \frac{12}{5}\]

Также известно, что разность их длин составляет 22,4 см:

\[d_1 - d_2 = 22,4\]

Теперь мы можем составить систему уравнений:

\[\begin{cases} \frac{d_1}{d_2} = \frac{12}{5} \\ d_1 - d_2 = 22,4 \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений. Умножим обе стороны первого уравнения на \(d_2\), чтобы избавиться от дроби:

\[\begin{cases} 12d_2 = 5d_1 \\ d_1 - d_2 = 22,4 \end{cases}\]

Теперь выразим одну из переменных через другую. Для этого из второго уравнения выразим \(d_1\):

\[d_1 = d_2 + 22,4\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[12d_2 = 5(d_2 + 22,4)\]

Раскроем скобки и решим уравнение:

\[12d_2 = 5d_2 + 112\]

\[7d_2 = 112\]

\[d_2 = 16\]

Теперь найдем значение \(d_1\), подставив \(d_2\) во второе уравнение:

\[d_1 = 16 + 22,4 = 38,4\]

Теперь у нас есть длины обеих диагоналей ромба. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как ромб имеет четыре одинаковые стороны, длина каждой стороны будет равна периметру, деленному на 4:

\[сторона = \frac{83,2}{4} = 20,8\]

Теперь, у нас есть длины сторон ромба и диагоналей, и мы можем использовать их для вычисления высоты ромба. Высота ромба — это расстояние от центра ромба до любой его стороны, образуя при этом прямой угол. Мы можем воспользоваться тем фактом, что треугольник, образованный высотой и половиной длины диагонали ромба, является прямоугольным треугольником. Таким образом, применяя теорему Пифагора, можем выразить высоту \(h\) следующим образом:

\[h = \sqrt{d_1^2 - \left(\frac{сторона}{2}\right)^2}\]

Подставим значения:

\[h = \sqrt{38,4^2 - \left(\frac{20,8}{2}\right)^2}\]

\[h = \sqrt{1474,56 - 216,64}\]

\[h = \sqrt{1257,92}\]

\[h \approx 35,49\]

Таким образом, высота ромба составляет примерно 35,49 см.