Question

В кучу сложены яблоки с трех яблонь. Урожай первой яблони составляет 50 кг, второй - 40, третей - 30. Доля червивых яблок составляет 0,3 для первой яблони, 0,2 - для второй, 0,4 - для третей. Найти вероятность того, что случайным образом взятое яблоко из кучи окажется червячным.

Answer 1

Чтобы найти вероятность того, что случайно взятое яблоко из кучи окажется червячным, нужно сложить произведения доли червивых яблок для каждой яблони на их долю в общем урожае.

Давайте обозначим: - \( A_1 \) - событие, что выбрано яблоко из первой яблони, - \( A_2 \) - событие, что выбрано яблоко из второй яблони, - \( A_3 \) - событие, что выбрано яблоко из третьей яблони, - \( B \) - событие, что выбрано червячное яблоко.

Тогда вероятность червячного яблока можно выразить как:

\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3) \]

где: - \( P(A_1), P(A_2), P(A_3) \) - вероятности выбрать яблоко из соответствующей яблони, - \( P(B|A_1), P(B|A_2), P(B|A_3) \) - вероятности того, что выбранное яблоко из соответствующей яблони окажется червячным.

Исходя из предоставленных данных:

\[ P(A_1) = \frac{50}{50+40+30} \] \[ P(A_2) = \frac{40}{50+40+30} \] \[ P(A_3) = \frac{30}{50+40+30} \]

\[ P(B|A_1) = 0.3 \] \[ P(B|A_2) = 0.2 \] \[ P(B|A_3) = 0.4 \]

Теперь можем подставить значения в формулу:

\[ P(B) = \frac{50}{120} \cdot 0.3 + \frac{40}{120} \cdot 0.2 + \frac{30}{120} \cdot 0.4 \]

Вычислим:

\[ P(B) = \frac{1}{4} \cdot 0.3 + \frac{1}{3} \cdot 0.2 + \frac{1}{4} \cdot 0.4 \]

\[ P(B) = 0.075 + 0.0666667 + 0.1 \]

\[ P(B) = 0.2416667 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно взятое яблоко из кучи окажется червячным, составляет приблизительно 0.242 или 24.2%.