Question

Мотоциклист проехал из пункта A в пункт B, где пробыл 30 минут и вернулся назад. По пути в B мотоциклист догнал пешехода, а через 1 час вторично встретился с ним на обратном пути. Мотоциклист вернулся в пункт A одновременно с прибытием пешехода в пункт B. За сколько часов пешеход преодолел расстояние АВ, если его скорость была в 6 раз меньше скорости мотоциклиста?

Answer 1

Пусть v - скорость пешехода, 6v - скорость мотоцикла; S - расстояние между пунктами А и В.

Рассмотрим момент времени, когда мотоциклист догнал пешехода. Пусть а - расстояние, которое осталость пройти пешеходу до пункта В.

Мотоциклист потратил время, чтобы доехать до пункта В, отдохнуть там полчаса, прежде чем вернулся. Это время такое:
$\frac{a}{6v} + \frac{1}{2}$
За это время, пешеход успел пройти:
$v(\frac{a}{6v} + \frac{1}{2}) = \frac{a}{6}+ \frac{v}{2}$
И ему осталось ещё пройти:
$a-(\frac{a}{6}+ \frac{v}{2} ) = \frac{5a}{6} -\frac{v}{2}$

В этот момент мотоциклист отправился обратно. Вторая встреча мотоциклиста с пешеходом произошла через час. Однако в течение это час он полчаса отдыхал и ехал расстояние а. Поэтому это время надо вычесть из 1 часа. А вычитать надо такое время:
$\frac{a}{6v} + \frac{1}{2}$

Итак, пешеходу и мотоциклисту необходима преодолеть расстояние:
$\frac{5a}{6} -\frac{v}{2}$
за время:
$1-(\frac{a}{6v} + \frac{1}{2} )= \frac{1}{2} - \frac{a}{6v}$
Составляем уравнение и кое-что находим:

$\frac{\frac{5a}{6} -\frac{v}{2}}{v+6v} = \frac{1}{2} - \frac{a}{6v} \\ \\ \frac{5a-3v}{42v} = \frac{1}{2} - \frac{a}{6v} \\ \\ 5a-3v =42v(\frac{1}{2} - \frac{a}{6v} ) \\ \\ 5a-3v =21v - 7a \\ \\ 12a = 24v \\ \\ a = 2v$

Теперь рассмотрим схему движения с момента их первой встречи и до полного завершения путешествия, для пешехода это пункт В, для мотоциклиста - пункт А.
После первой встречи мотоциклист проехал расстояние а, затем отдыхал полчаса и, наконец, вернулся в исходный пункт А. Пешеход же прошёл только расстояние а. Т.к. они одновременно попали в указанные пункты, то их время в пути тоже одинаково. Составляем уравнение:

$\frac{a}{6v} + \frac{1}{2} + \frac{S}{6v} = \frac{a}{v} \\ \\ \frac{S}{6v} = \frac{a}{v} - \frac{a}{6v} - \frac{1}{2} = \frac{5a}{6v} - \frac{1}{2} \\ \\ \frac{S}{v} = \frac{5a}{v} -3$

Вроде бы ничего и не получается. Однако обратите внимание на $\frac{S}{v}$! А это как раз то, что нам надо. Это время, за которое пешеход преодолеет расстояние S (между А и В), идя со скоростью v. Кроме этого, ранее мы вычислили, что a=2v.

Вычисляем:

$\frac{S}{v} = t = \frac{5a}{v} -3 = \frac{5*2v}{v} -3 = 10 - 3 = 7$

Ответ: 7 час