Question

Найдите сумму корней уравнения ( в градусах ) tgx ( cos7x+5 ) = 0 на промежутке [ -360; 0 ] .

Answer 1

Дано произведение, которе равно нулю когда один из сомножителей равен нулю.
Так как cos7x+5 = 0 НЕ МОЖЕТ, то tgx=0. x=$\pi n (n-$целое число)

Таким образом сумма на заданном промежутке будет равна       -180-360=-540

Answer 2

Для решения этого уравнения, нужно сначала применить формулу тангенса суммы углов: $$\\tg(x+7x)=\\frac{\\tg x+\\tg 7x}{1-\\tg x\\tg 7x}$$ Затем, нужно подставить это выражение в исходное уравнение и получить: $$\\frac{\\tg x+\\tg 7x}{1-\\tg x\\tg 7x}(\\cos 7x+5)=0$$ Это уравнение равносильно системе двух уравнений: $$\\begin{cases}\\tg x+\\tg 7x=0\\\\\\cos 7x+5=0\\end{cases}$$ Первое уравнение имеет бесконечное множество корней вида $$x_k=k\\pi-\\frac{\\pi}{8},\\quad k\\in\\mathbb{Z}$$ Второе уравнение имеет конечное множество корней вида $$x_n=\\frac{2n\\pi}{7}-\\frac{\\pi}{14},\\quad n\\in\\{0,1,2,3,4,5,6\\}$$ На промежутке $[-360;0]$ градусов, эти корни принимают следующие значения: $$x_k\\in\\{-315,-225,-135,-45,45,135,225,315\\}$$ $$x_n\\in\\{-314.29,-180,-102.86,-45.71,11.43,68.57,125.71,182.86,240,297.14,354.29\\}$$ Сумма корней обоих уравнений на этом промежутке равна $$-360+0=-360$$ Однако, не все эти корни являются корнями исходного уравнения, так как они должны удовлетворять обоим уравнениям системы одновременно. Для этого, нужно проверить, какие из них лежат в области определения функции $\tg x(\cos 7x+5)$. Эта функция не определена, когда $$\\cos 7x+5=0$$ или $$\\tg x=0$$ Это означает, что корни вида $$x_k=k\\pi-\\frac{\\pi}{8}$$ и $$x_n=\\frac{2n\\pi}{7}-\\frac{\\pi}{14}$$ не являются корнями исходного уравнения, так как они обнуляют знаменатель или числитель функции. Следовательно, нужно исключить их из множества корней и найти сумму оставшихся корней. Это можно сделать, например, с помощью онлайн калькулятора уравнений или с помощью алгебры. В результате, получим, что единственными корнями исходного уравнения на промежутке $[-360;0]$ градусов являются $$x=-225$$ и $$x=-45$$ Сумма этих корней равна $$-225-45=-270$$ Ответ: сумма корней уравнения $\tg x(\cos 7x+5)=0$ на промежутке $[-360;0]$ градусов равна $-270$.