Question

Какой циырой заканчивается произведение 17*37*57*77*...*1997*2017?

Answer 1

1) Посчитаем сколько чисел в каждой сотне 17, 37, 57, 77, 97- их пять => в выражении 101 число (20*5+1)
2) Обозначим последнюю цифру буквой u ( например : u(34)=4, u(68)=8)
3) u(17*37*57*...*2017)=u(7^101)
4) Проведем исследование
u(7^1)=7
u(7^2)=9
u(7^3)=3
u(7^4)=1
u(7^5)=7
u(7^6)=9
Итак замечаем закономерность чисел 7,9,3,1. если мы степень числа 7 поделим на
4 и получим остаток 1 , то послед цифра 7, если остаток 2 , то 9, если остаток 3 , то 3, а если без остатка , то 1.
5) 101:4=25 остаток 1 => u(7^101)=7=> u(17*37*57*...*2017)=1

Answer 2

Я не понимаю¿умножить надо?

Answer 3

Произведение 17 * 37 * 57 * 77 * ... * 1997 * 2017 состоит из последовательности чисел, которые увеличиваются на 20 с каждым последующим числом.

Мы можем заметить, что каждое число в этой последовательности имеет остаток от деления на 5 равный 2. То есть, эти числа можно записать в виде 5n + 2, где n - некоторое целое число.

Теперь рассмотрим произведение этих чисел: (17 * 37 * 57 * 77 * ... * 1997 * 2017) = (5a + 2) * (5b + 2) * (5c + 2) * ... * (5m + 2)

Для простоты вычислений, мы можем обозначить (5a + 2) как x, (5b + 2) как y, и так далее. Тогда наше произведение можно переписать как: x * y * z * ... * k

Мы также можем записать выражение в следующей форме: (5n + 2) = 10n + 2

Теперь рассмотрим произведение в этой новой форме: (10a + 2) * (10b + 2) * (10c + 2) * ... * (10m + 2)

Мы можем вынести 2 за скобки и получим: 2 * (10a + 1) * (10b + 1) * (10c + 1) * ... * (10m + 1)

Теперь видно, что все числа в скобках имеют остаток от деления на 10 равный 1. То есть, они могут быть записаны в виде 10k + 1.

Теперь наше произведение примет следующий вид: 2 * (10k + 1) * (10l + 1) * (10m + 1) * ... * (10x + 1)

Остаток от деления на 10 для этого произведения можно вычислить следующим образом: (2 * (10k + 1) * (10l + 1) * (10m + 1) * ... * (10x + 1)) % 10

Раскрываем скобки, применяем свойства модуля: (2 * 10k + 2) * (10l + 1) * (10m + 1) * ... * (10x + 1)) % 10

Далее учтем, что 2 * 10k + 2 = 20k + 2, можем обозначить 20k + 2 как y: y * (10l + 1) * (10m + 1) * ... * (10x + 1)) % 10

Замечаем, что y * (10l + 1) * (10m + 1) * ... * (10x + 1) является произведением чисел с остатком от деления на 10 равным 2. То есть, они имеют вид 10p + 2.

Теперь наше произведение равно: (10p + 2) % 10

Остаток от деления на 10 равен 2.

Таким образом, произведение 17 * 37 * 57 * 77 * ... * 1997 * 2017 заканчивается цифрой 2.