Question

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Answer 1

?...................

Answer 2

Для нахождения площади трапеции, у которой известны длины диагоналей и средней линии, можно воспользоваться следующей формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований трапеции, а \( h \) - высота трапеции.

В данном случае, средняя линия трапеции равна 10, что является средним арифметическим длин оснований:

\[ 10 = \frac{a + b}{2} \]

Отсюда можно выразить сумму длин оснований:

\[ a + b = 20 \]

Также известно, что длины диагоналей равны 15 и 7. Диагональ трапеции представляет собой отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной линии. Таким образом, диагональ делит трапецию на два треугольника. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) - длины диагоналей. Тогда, высота трапеции можно найти с использованием половины разности длин диагоналей:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{d_1^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{d_2^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ a + b = 20 \] \[ h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2} \]

Решив эти уравнения, мы найдем длины оснований и высоту трапеции, после чего можно будет подставить их в формулу для площади. Однако, решение этих уравнений может быть нетривиальным, и для точных численных значений я бы рекомендовал использовать калькулятор или программу для символьных вычислений.