Question

4y''+20y'+25y=13+x y''+9y=e^{-2x} y''+y'-30y=-3cos5x+2sin5x

Answer 1

1) $4y''+20y'+25y=13+x$
Решим сначала однородное уравнение $4y''+20y'+25y=0$
Составим характеристическое уравнение и решим его:
$4 \lambda^2 + 20 \lambda +25 = 0 \\ \\ \lambda_1 \ \lambda_2 = - \frac{5}{2}$
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня, следовательно, общее решение Y будет в виде:
$Y =C_1 e^{- \frac{5}{2} x} + C_2 x e^{- \frac{5}{2} x}$
Теперь надо найти частное решение y, которое ищем в виде похлжем на правую часть диффура: y = Ax + B.
Найдём производные и подставим в исходное уравнение:
y' = A;  y'' = 0

$4*0+20A+25(Ax + B) = 13 + x \\ \\ 25Ax + (20A+25B) = x + 13 \\ \\ \left \{ {{25A=1} \atop {20A+25B=13}} \right. \\ \\ A = \frac{1}{25}; \:\:\:\:\:\: B = \frac{61}{125} \\ \\ y = \frac{1}{25} x + \frac{61}{125}$

Собираем общее и частное уравнение вместе:
$y = C_1 e^{- \frac{5}{2} x} + C_2 x e^{- \frac{5}{2} x} + \frac{1}{25} x + \frac{61}{125}$

2) $y''+9y=e^{-2x}$
Аналогично, решаем сначала однородное уравнение: $y''+9y= 0$
Характеристическое уравнение и его корни:
$\lambda ^2 + 9 = 0 \\ \\ \lambda_{1,2} = \pm 3i$
Характеристическое уравнение имеет сопряжённые комплексные корни, поэтому общее решение Y имеет вид:
$Y = C_1 cos3x + C_2 sin3x$
Частное решение ищем в виде:
$y = Ae^{-2x}$
т.к. правая часть имеет такой вид.
Находим производные, подставляем в исходное уравнение.
$y' = -2Ae^{-2x} \\ \\ y'' = 4Ae^{-2x} \\ \\ 4Ae^{-2x} +9Ae^{-2x}=e^{-2x} \\ \\ 4A+9A = 1 \\ \\ A = \frac{1}{13} \\ \\ y = \frac{1}{13} e^{-2x}$

Собираем общее и частное решение вместе:
$y = C_1 cos3x + C_2 sin3x +\frac{1}{13} e^{-2x}$

3) $y''+y'-30y=-3cos5x+2sin5x$
Решаем однородное уравнение $y''+y'-30y=0$
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
$\lambda ^2 + \lambda -30 = 0 \\ \\ \lambda _1 = -6; \:\:\:\:\:\: \lambda _1 = 5$
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, общее решение Y будет такое:
$Y = C_1 e^{-6x} + C_2 e^{5x}$
Частное решение ищем в виде:
$y = Acos5x + Bsin5x$
Находим производные, подставляем в исходное уравнение, приравниваем коэффициенты перед синусом и косинусом.
$y' = -5Asin5x + 5Bcos5x \\ \\ y'' = -25Acos5x - 25Bsin5x \\ \\ -25Acos5x - 25Bsin5x -5Asin5x + 5Bcos5x - \\ \\ - 30(Acos5x + Bsin5x) = -3cos5x+2sin5x \\ \\ (-55A + 5B) cos5x + (-5A - 55B)sin5x = -3cos5x + 2sin5x \\ \\ \left \{ {{-55A+5B=-3} \atop {-5A-55B=2}} \right. \\ \\ A= \frac{31}{610} \\ \\ B = - \frac{5}{122} \\ \\ y = \frac{31}{610}cos5x - \frac{5}{122}sin5x$

Собираем общее и частное решения вместе:
$y = C_1 e^{-6x} + C_2 e^{5x} + \frac{31}{610}cos5x - \frac{5}{122}sin5x$

Answer 2

Данный вопрос связан с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения данной системы выглядят следующим образом:

1. \(4y'' + 20y' + 25y = 13 + x\) 2. \(y'' + 9y' + y = e^{-2x}\) 3. \(y'' + y' - 30y = -3\cos(5x) + 2\sin(5x)\)

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. \(4y'' + 20y' + 25y = 13 + x\)

Характеристическое уравнение для этого уравнения:

\[4r^2 + 20r + 25 = 0\]

Это уравнение имеет кратный корень \(r = -\frac{5}{2}\).

Следовательно, общее решение однородного уравнения:

\[y_{h1}(x) = (C_1 + C_2x)e^{-\frac{5}{2}x}\]

Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет собой линейную функцию, будем искать частное решение в виде линейной функции:

\[y_{p1}(x) = Ax + B\]

Подставим в неоднородное уравнение и найдем значения \(A\) и \(B\):

\[4(A)'' + 20(A)' + 25(A) = 1\] \[4A + 20 = 1\]

Отсюда получаем, что \(A = -\frac{19}{4}\).

Теперь подставим в уравнение:

\[4\left(-\frac{19}{4}\right) + 20B + 25\left(-\frac{19}{4}\right) = 1\]

Отсюда находим \(B = \frac{61}{4}\).

Итак, частное решение:

\[y_{p1}(x) = -\frac{19}{4}x + \frac{61}{4}\]

Таким образом, общее решение первого уравнения:

\[y_1(x) = (C_1 + C_2x)e^{-\frac{5}{2}x} - \frac{19}{4}x + \frac{61}{4}\]

2. \(y'' + 9y' + y = e^{-2x}\)

Характеристическое уравнение:

\[r^2 + 9r + 1 = 0\]

Решение характеристического уравнения даёт два различных корня:

\[r = \frac{-9 \pm \sqrt{77}i}{2}\]

Общее решение однородного уравнения:

\[y_{h2}(x) = e^{-\frac{9}{2}x}\left(C_1\cos\left(\frac{\sqrt{77}}{2}x\right) + C_2\sin\left(\frac{\sqrt{77}}{2}x\right)\right)\]

Частное решение будем искать в виде \(y_{p2}(x) = A e^{-2x}\). Подставим в уравнение и найдем значение \(A\):

\[A e^{-2x} + 9A e^{-2x} + A e^{-2x} = e^{-2x}\]

Отсюда получаем, что \(A = \frac{1}{11}\).

Итак, частное решение:

\[y_{p2}(x) = \frac{1}{11} e^{-2x}\]

Общее решение второго уравнения:

\[y_2(x) = e^{-\frac{9}{2}x}\left(C_1\cos\left(\frac{\sqrt{77}}{2}x\right) + C_2\sin\left(\frac{\sqrt{77}}{2}x\right)\) + \(\frac{1}{11} e^{-2x}\)

3. \(y'' + y' - 30y = -3\cos(5x) + 2\sin(5x)\)

Характеристическое уравнение:

\[r^2 + r - 30 = 0\]

Это уравнение имеет два корня \(r = 5\) и \(r = -6\).

Общее решение однородного уравнения:

\[y_{h3}(x) = C_1e^{5x} + C_2e^{-6x}\]

Для неоднородного уравнения будем искать частное решение в виде суммы частных решений для правых частей \(-3\cos(5x)\) и \(2\sin(5x)\).

1. Для \(-3\cos(5x)\) ищем частное решение в виде \(y_{p3a}(x) = A\cos(5x) + B\sin(5x)\). 2. Для \(2\sin(5x)\) ищем частное решение в виде \(y_{p3b}(x) = C\cos(5x) + D\sin(5x)\).

Подставим и найдем коэффициенты:

\[A = \frac{15}{106}, \quad B = \frac{12}{53}, \quad C = -\frac{8}{159}, \quad D = \frac{3}{106}\]

Таким образом, частные решения:

\[y_{p3a}(x) = \frac{15}{106}\cos(5x) + \frac{12}{53}\sin(5x)\] \[y_{p3b}(x) = -\frac{8}{159}\cos(5x) + \frac{3}{106}\sin(5x)\]

Итак, общее решение третьего уравнения:

\[y_3(x) = C_1e^{5x} + C_2e^{-6x} + \frac{15}{106}\cos(5x) + \frac{12}{53}\sin(5x) - \frac{8}{159}\