Question

Решите пожалуйста задачу! После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки не хватает. При укладывании по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 8 плиток - тоже остается неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Answer 1

5*7=35 +6   -   41

5*8= 40+1   -   41

6-1=5

Осталась  41  плитка

Answer 2

Давайте обозначим общее количество плиток через переменную \(x\).

1. При укладывании по 10 плиток в ряд для квадратной площадки не хватает. Это означает, что \(x\) не делится на 10 без остатка.

2. При укладывании по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд. Это означает, что остаток от деления \(x\) на 7 равен 1.

3. При укладывании по 8 плиток в ряд тоже остается неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7. Это означает, что остаток от деления \(x\) на 8 равен 5.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} &\text{1. } x \equiv 1 \pmod{7} \\ &\text{2. } x \equiv 5 \pmod{8} \\ &\text{3. } x \not\equiv 0 \pmod{10} \end{align*} \]

Решим эту систему уравнений. Для этого можно воспользоваться Китайской теоремой об остатках или методом подбора. В данном случае, удобно воспользоваться методом подбора.

Попробуем находить решение, увеличивая \(x\) на 70 (поскольку 70 делится и на 7, и на 10):

1. При \(x = 71\), \(71 \equiv 1 \pmod{7}\) (выполняется условие 1). 2. При \(x = 71\), \(71 \equiv 5 \pmod{8}\) (выполняется условие 2). 3. При \(x = 71\), \(71 \not\equiv 0 \pmod{10}\) (выполняется условие 3).

Таким образом, решение системы уравнений - \(x = 71\). Значит, после строительства дома осталось 71 плитка.