Question

докажите что модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3

Answer 1

n^3-(n-1)^3=n^3-n^3+3*n^2-3*n+1=3*n*(n-1)+1
Если к числу, кратному 3 прибавить число не кратное 3, получается число не кратное 3.

Answer 2

Модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел и его деление на 3

Для доказательства того, что модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3, мы можем использовать математическое рассуждение.

Предположим, у нас есть два последовательных натуральных числа, обозначим их как n и n+1. Тогда куб первого числа будет равен n^3, а куб второго числа будет равен (n+1)^3.

Модуль разности кубов этих двух чисел можно записать следующим образом:

|n^3 - (n+1)^3|

Мы можем разложить эту разность кубов, используя формулу для разности кубов:

n^3 - (n+1)^3 = n^3 - (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = -3n^2 - 3n - 1

Теперь давайте рассмотрим остатки от деления этого выражения на 3. Если модуль разности кубов делится на 3, то остаток от деления должен быть равен 0.

Остаток от деления (-3n^2 - 3n - 1) на 3 можно найти, рассмотрев каждый член по отдельности:

-3n^2 (mod 3) = 0 (так как -3n^2 делится на 3 без остатка) -3n (mod 3) = 0 (так как -3n делится на 3 без остатка) -1 (mod 3) = 2 (так как -1 при делении на 3 дает остаток 2)

Таким образом, остаток от деления (-3n^2 - 3n - 1) на 3 равен 2, а не 0. Это означает, что модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

Итак, модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.