Question

∫

Answer 1

$\int\limits { \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } } \, dx = \int\limits { \frac{d(x^2)}{2 \sqrt{1+x^2} } } \, = \sqrt{1+x^2} +C$

Answer 2

Когда вы пишете символ ∫, вы обозначаете интеграл. Интеграл - это математический оператор, который используется для нахождения площади под кривой в графике функции. Интегралы широко применяются в математике и физике для решения различных задач.

Чтобы понять интегралы более подробно, нужно вначале разобраться с понятием производной. Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции в каждой точке графика. Интеграл - это обратная операция к производной. Он позволяет найти функцию, значение которой равно производной исходной функции.

Символ ∫ используется для обозначения интеграла. Интеграл может быть определенным или неопределенным. Определенный интеграл используется для нахождения площади под кривой в заданном интервале. Неопределенный интеграл, также называемый интегралом с переменным верхним пределом, позволяет найти антипроизводную функции.

Для вычисления интеграла необходимо знать функцию, которую нужно интегрировать, и пределы интегрирования (для определенного интеграла). Существует несколько методов, которые можно использовать для вычисления интегралов, таких как метод замены переменной, метод интегрирования по частям и другие.

Вот пример неопределенного интеграла:

∫ x^2 dx

Для нахождения антипроизводной этого интеграла мы можем использовать степенной закон интегрирования, который гласит, что:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

Где C - постоянная интегрирования. Применяя этот закон к нашему интегралу, получаем:

∫ x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) + C = (x^3)/3 + C

Таким образом, антипроизводная функции x^2 равна (x^3)/3 + C.

Определенный интеграл можно вычислить, задав пределы интегрирования. Например, определенный интеграл

∫[0,1] x^2 dx

означает, что мы интегрируем функцию x^2 на интервале от 0 до 1. Результатом будет числовое значение, которое показывает площадь под кривой функции x^2 на этом интервале.

Интегрирование - это мощный инструмент в математике и физике, который позволяет решать разнообразные задачи, такие как вычисление площадей, нахождение объемов и решение дифференциальных уравнений. Важно понимать основные понятия и методы интегрирования, чтобы правильно использовать интегралы в своих расчетах и исследованиях.