Question

Найдите точку экстремума функции у=(х-1)е в степени 3х

Answer 1

Решение
y = (х-1)*е^(3х)
Находим первую производную функции:
y' = 3(x-1)e^(3x) + e^(3x)
или
y' = (3x - 2) * e^(3x)
Приравниваем ее к нулю:
(3x - 2) * e^(3x) = 0
x = 2/3
Вычисляем значения функции 
f(2/3) = - e² / 3
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 9(x-1) * e^(3x) + 6 * e^(3x)
или
y'' = (9x - 3) * e^(3x)
Вычисляем:
y`` (2/3) = 3*e² > 0
значит эта точка - точка минимума функции.

Answer 2

Находим производную функции и приравниваем к нулю:
у'=e^3x+(x-1)*3*e^3x=0; e^3x(1+3x-3)=e^3x(3x-2)=0;
3x-2=0; x=2/3. Это и будет точка экстремума, так при х=0 производная отрицательна, а при х=2 - положительна.

Answer 3

Для нахождения точки экстремума функции нужно найти её производную и приравнять её к нулю. В данном случае у нас есть функция у = (х - 1)e^(3х).

Находим производную функции

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования функции вида f(x) = e^(kx), где k - константа.

Применяя данные правила, получаем:

у' = (х - 1) * 3e^(3х) + e^(3х) * 1

у' = 3(х - 1)e^(3х) + e^(3х)

у' = (3х - 3 + 1)e^(3х)

у' = (3х - 2)e^(3х)

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(3х - 2)e^(3х) = 0

Так как экспонента e^(3х) никогда не равна нулю, то уравнение (3х - 2) = 0.

Решаем уравнение (3х - 2) = 0:

3х - 2 = 0

3х = 2

х = 2/3

Находим значение функции в точке экстремума

Теперь найдем значение функции у в точке экстремума. Подставляем найденное значение х = 2/3 в исходную функцию:

у = (2/3 - 1)e^(3 * 2/3)

у = (-1/3)e^(2)

Таким образом, точка экстремума функции у = (х - 1)e^(3х) равна (2/3, (-1/3)e^(2)).