Question

В окружность вписан прямоугольный треугольник с острым углом 30 градусов и противолежащим катетом 4 сантиметра найдите радиус окружности

Answer 1

Найди .............нуууу

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников, а также свойства вписанных углов в окружности.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол B прямой (90 градусов), угол A равен 30 градусов, а угол C равен 60 градусов. Пусть BC - противолежащий катет, равен 4 сантиметра.

Так как угол C вписан в окружность, то дуга AC является вписанной дугой. Согласно теореме о вписанном угле, угол в центре, который соответствует этой дуге, в два раза больше вписанного угла. Таким образом, угол в центре, который соответствует дуге AC, равен 2 * 30 = 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник OBC, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и OB - радиус этой окружности.

Так как угол в центре равен 60 градусов, а угол внутри треугольника ABC при основании равен 90 градусов, угол внутри треугольника OBC, противолежащий дуге AC, равен 60 - 90 = -30 градусов.

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления радиуса окружности по углу внутри треугольника и длине стороны:

\[ R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BOC)} \]

В нашем случае \( BC = 4 \) см, а угол \(\angle BOC = 30\) градусов. Помним, что синус отрицательного угла равен синусу его дополнения, поэтому:

\[ R = \frac{4}{2 \sin(30)} \]

Мы знаем, что \(\sin(30) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[ R = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4 \]

Таким образом, радиус окружности равен 4 сантиметра.