Question

Математика 30 баллов! Решить используя определение логарифма log (основ x-1) (2x²-5x-3)=2 Решить используя свойства логарифмов lg(x-2)-½lg(3x-6)=lg2 Решить методом подстановки lg²x+2lgx=3

Answer 1

1)  a=b^c  ≡   c= loga по  основании b    a>0 ;  b>0  & b≠1  ⇒ 
    x-1>0  (x>1)  &  x-1≠1 (x≠2)    ⇒ 
                2x²-5x-3=(x-1)²  ⇒
                2x²-5x-3=x²-2x+1
                x²-3x-4=0  ⇒   x1=-1   не  уд.
                                      x2=4  
       Ответ:  x=4

2)   loga - logb = log(a/b)  ;  log(c^d)= d·logc  ⇒ 
   lg(x-2) - 1/2·lg(3x-6) = lg(x-2) - lg√(3x-6) = lg[x-2)/√(3x-6)  ⇒
      (x-2)/√(3x-6)=2   ⇒   ⇒   (x-2) = 2√(3x-6)    ⇒ 
      x²-4x+4=12x-24 
      x² - 16x +28 = 0 
      x1= 2  не  уд. ;
         x2 = 14
     Ответ:  x = 14
3)  обозначим  lgx = y   x>0  ⇒
     y^2 + 2y - 3 =0 
      y1 = -3   ⇒  lgx = - 3   ⇒   x = 0,001| ;
      y2 = 1    ⇒   lgx = 1    ⇒   x = 10
   Ответы :   x = 0,001
                   x = 10
                            

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

1. \( \log_{x-1}(2x^2-5x-3) = 2 \)

Для решения этого уравнения, используем определение логарифма. По определению:

\[ \log_{a} b = c \implies a^c = b \]

Применяем это к вашему уравнению:

\[ (x-1)^2 = 2x^2-5x-3 \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 5x - 3 \]

Получаем квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Факторизуем или используем квадратное уравнение:

\[ (x-4)(x+1) = 0 \]

Таким образом, у нас два возможных значения \( x \): \( x = 4 \) или \( x = -1 \). Проверим оба значения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.

2. \( \lg(x-2) - \frac{1}{2}\lg(3x-6) = \lg2 \)

Решим это уравнение, используя свойства логарифмов. Сначала объединим логарифмы:

\[ \lg(x-2) - \frac{1}{2}\lg(3x-6) = \lg2 \]

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов. Заметим, что \( \lg(3x-6) = \lg((x-2)^2) \), так как \( (x-2)^2 = 3x-6 \).

\[ \lg(x-2) - \frac{1}{2}\lg((x-2)^2) = \lg2 \]

Используем правило логарифма \( \lg(a) - \frac{1}{2}\lg(b) = \lg(\sqrt{a/b}) \):

\[ \lg\left(\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2}}\right) = \lg2 \]

Упростим:

\[ \lg\left(\frac{x-2}{|x-2|}\right) = \lg2 \]

Теперь рассмотрим два случая:

a) Если \( x-2 > 0 \), тогда \( |x-2| = x-2 \):

\[ \lg(x-2) = \lg2 \]

\[ x-2 = 2 \]

\[ x = 4 \]

b) Если \( x-2 < 0 \), тогда \( |x-2| = -(x-2) \):

\[ \lg(-(x-2)) = \lg2 \]

\[ \lg(2-x) = \lg2 \]

Это уравнение не имеет решений, так как логарифм отрицательного числа не определен.

Таким образом, единственное допустимое значение - \( x = 4 \).

3. \( \lg^2x + 2\lg x = 3 \)

Давайте представим \( \lg x \) как переменную. Пусть \( y = \lg x \). Тогда у нас есть:

\[ y^2 + 2y = 3 \]

Это квадратное уравнение. Приведем его к стандартной форме:

\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Теперь факторизуем:

\[ (y+3)(y-1) = 0 \]

Таким образом, \( y = -3 \) или \( y = 1 \). Но \( y = \lg x \), поэтому:

a) Если \( y = -3 \), то \( \lg x = -3 \), что означает \( x = 10^{-3} \).

b) Если \( y = 1 \), то \( \lg x = 1 \), что означает \( x = 10^1 = 10 \).

Таким образом, у нас есть два решения: \( x = 10^{-3} \) и \( x = 10 \).