Question

1. Найти производные функций: а) у = 2х^3−1\2х^2+4 б) у = 2cosх−3 в) у = х−3\х+2

Answer 1

.......................................

Answer 2

Конечно, найдем производные данных функций.

а) \( y = 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4 \)

Для нахождения производной данной функции \( y \) по \( x \) используем правила дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4 \right) \]

Производная каждого члена функции по отдельности:

\[ \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2 \]

\[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^2\right) = -x \]

Константа 4 исчезает при дифференцировании, так как производная постоянной равна нулю.

Теперь собираем все части вместе:

\[ \frac{dy}{dx} = 6x^2 - x \]

б) \( y = 2\cos x - 3 \)

Производная функции \( y \) по \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2\cos x - 3) \]

Используем правило дифференцирования для косинуса:

\[ \frac{d}{dx} (2\cos x) = -2\sin x \]

Постоянная 3 исчезает при дифференцировании.

Теперь мы получаем:

\[ \frac{dy}{dx} = -2\sin x \]

в) \( y = \frac{x - 3}{x + 2} \)

Это можно переписать как:

\[ y = (x - 3)(x + 2)^{-1} \]

Применим правила дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(x - 3)(x + 2)^{-1}] \]

Используем правило производной произведения:

\[ \frac{d}{dx}(x - 3) \cdot (x + 2)^{-1} + (x - 3) \cdot \frac{d}{dx}(x + 2)^{-1} \]

Вычислим производные каждой части:

\[ \frac{d}{dx}(x - 3) = 1 \]

Производная \( (x + 2)^{-1} \) требует применения правила дифференцирования для обратной функции:

\[ \frac{d}{dx}(x + 2)^{-1} = -1 \cdot (x + 2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2) = -\frac{1}{(x + 2)^2} \]

Теперь подставим все в выражение для производной \( y \):

\[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x + 2)^{-1} + (x - 3) \cdot \left(-\frac{1}{(x + 2)^2}\right) \]

Сократим и упростим:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 3}{(x + 2)^2} \]

Это и будет производной функции \( y \) по \( x \).