Question

Найти cos 2α, если tg α = 3/4 π<α<3π/2

Answer 1

$tg\alpha=\frac34\\1+tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\\\cos^2\alpha=\frac1{1+tg^2\alpha}\\\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac1{1+tg^2\alpha}}=\pm\sqrt{\frac1{1+\frac9{16}}}=\pm\sqrt{\frac1{\frac{25}{16}}}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac45\\\pi\ \textless \ \alpha\ \textless \ \frac{3\pi}2\Rightarrow \cos\alpha\ \textless \ 0\\\cos\alpha=-\frac45\\\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-1=\frac7{25}$

Answer 2

Для нахождения \( \cos(2\alpha) \), воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

Используем предоставленную информацию о тангенсе:

\[ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \]

Используя теорему Пифагора, найдем значение синуса и косинуса:

\[ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3}{5} \] \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{примыкающий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5} \]

Теперь можем найти \( \cos^2(\alpha) \) и \( \sin^2(\alpha) \):

\[ \cos^2(\alpha) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \] \[ \sin^2(\alpha) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]

Теперь можем подставить эти значения в формулу для \( \cos(2\alpha) \):

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \]

Таким образом, \( \cos(2\alpha) = \frac{7}{25} \).