Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 2cos²2x-cos2x-1=0

Answer 1

Решение во вложении.....

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[2\cos^2(2x) - \cos(2x) - 1 = 0\]

Давайте введем замену для упрощения выражения. Пусть \(y = \cos(2x)\), тогда уравнение примет вид:

\[2y^2 - y - 1 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение \(ay^2 + by + c = 0\), где в нашем случае \(a = 2\), \(b = -1\), и \(c = -1\). Формула для решения квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставляем значения:

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4}\]

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\]

\[y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}\]

Теперь два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1\) 2. \(y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\)

Теперь, мы вернемся к исходной переменной \(x\). Напомним, что \(y = \cos(2x)\). Таким образом, у нас есть два случая:

1. Когда \(\cos(2x) = 1\):

\[\cos(2x) = 1 \implies 2x = 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}\]

Таким образом, \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. Когда \(\cos(2x) = -\frac{1}{2}\):

\[\cos(2x) = -\frac{1}{2}\]

Это соответствует углам \(2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) или \(2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Теперь объединим оба случая в общее решение. Получаем:

\[x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi,\]

где \(n, k \in \mathbb{Z}\).