Question

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN=11, MN=8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK. В ответе укажите наименьшую из возможных длин этого отрезка.

Answer 1

Смотрите рисунок во вложении.
Треугольники AKQ и NMQ подобны. Тогда:
$\frac{AK}{MN}=\frac{KQ}{MQ};\\ \frac{4}{8}=\frac{KQ}{\sqrt{NM^2+NQ^2}};\\ \frac{KQ}{\sqrt{64+(11-KQ)^2}}=\frac{1}{2};\\ 2KQ=\sqrt{64+(11-KQ)^2};$
$4KQ^2=64+121-22KQ+KQ^2;\\ 3KQ^2+22KQ-185=0;\\ D'=121+3\cdot 185=676=26^2;\\ KQ=\frac{-11+26}{3}=\frac{15}{3}=5$

Answer 2

Давайте обозначим центр окружности как \(K\), радиус как \(r\) (в данном случае \(r = 4\)), а точку касания прямой \(MN\) с окружностью обозначим как \(T\).

Так как прямая, проходящая через вершину \(M\), касается окружности, то радиус в этой точке перпендикулярен касательной. Таким образом, \(MT\) является радиусом окружности и равен \(r = 4\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(MKT\):

\[KT^2 = MT^2 + KM^2.\]

Мы знаем, что \(MT = 4\) и \(KM = KN - MN = 11 - 8 = 3\).

Подставим известные значения:

\[KT^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25.\]

Теперь найдем значение \(KT\):

\[KT = \sqrt{25} = 5.\]

Таким образом, мы нашли длину отрезка \(KT\). Теперь мы знаем, что \(QK\) равен половине \(KT\), так как \(Q\) - это точка пересечения прямой \(KN\) с окружностью, а \(KT\) - это радиус касательной. Таким образом,

\[QK = \frac{1}{2}KT = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5.\]

Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка \(QK\) равна 2.5.