Question

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна 7, а расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения биссектрисы меньшего острого угла с меньшим катетом равна 5. Найти длину меньшего катета

Answer 1

По свойству биссектрисы отношение большего катета к гипотенузе у равно 5/(х-5), где х- длина меньшего катета.
(y^2-x^2)*x^2=y^2*49  по свойству высоты прямоугольного треугольника.
(y^2-x^2)/y^2=25/(x-5)^2   (y^2-x^2)=25*y^2/(x-5)^2
-----------------------------------------------
25*y^2/(x-5)^2=y^2*49 /x^2
25*x^2=49*(x-5)^2
(x-5)/x=5/7
x-5=5x/7 или х-5=-5х/7
7x=5x+35  или 7х=-5х+35
2x=35   или 12х=35
x=17,5   или  х =35/12=2 11/12
Легко видеть, что только во втором члучае катет меньший.
Ответ: 2 11/12

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрисы в треугольнике.

Обозначим вершины прямоугольного треугольника как A, B и C, где C - прямой угол, а AC и BC - катеты. Пусть D - точка пересечения биссектрисы треугольника ABC с меньшим катетом AB. Тогда AD - биссектриса меньшего угла, и CD - также биссектриса, так как треугольник ABC прямоугольный.

Из условия задачи известно, что AC = 7 (высота прямоугольного треугольника) и CD = 5 (расстояние от вершины C до точки пересечения биссектрисы с меньшим катетом). Обозначим BD как \(x\) (длина меньшего катета).

Так как AD - биссектриса, то соотношение длин отрезков делится по теореме биссектрисы: \(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}\). Подставим известные значения:

\(\frac{7}{x} = \frac{5}{x + BC}\).

Теперь нам нужно найти BC. Используем тот факт, что \(BC + BD = CD\), поэтому \(BC = CD - BD = 5 - x\).

Подставим это обратно в уравнение:

\(\frac{7}{x} = \frac{5}{x + 5 - x}\).

Упростим уравнение:

\(\frac{7}{x} = \frac{5}{5}\).

Теперь решим уравнение:

\(7 \cdot 5 = 5 \cdot x\),

\(35 = 5x\).

Отсюда получаем, что \(x = 7\).

Таким образом, длина меньшего катета равна 7.