Question

А)Докажите что числа 483 и 368 не взаимно простые. б)Докажите что числа 468 и 875 взаимно простые. Оформить все с решением

Answer 1

 а) 483=3х7х23
483  3
161  7
23   23
1

368= 2х2х2х2х23
368   2
184   2
 92   2
46    2
23   23
1
б)468=2х2х3х3х13
468  2
234  2
117  3
39   3
13  13
1
875=5х5х5х7
875  5
175  5
35   5
7     7
1

Answer 2

Взаимно простыми числами называются числа имеющие всего один общий делитель равный 1.

483 | 3                  368 | 2
161 | 7                  184 | 2
13   | 23                 92  | 2
1                           46  | 2
483=3*7*23             23 | 23
                             368=2*2*2*2*23
общих делителей у этих чисел два, равные 1 и 23  ⇒ числа не взаимно простые

468 | 2                       875 | 5
234 | 2                       175 | 5
117 | 3                        35  | 5
39   | 3                         7  | 7
13   | 13                       1
1                               875=5*5*5*7
468=2*2*3*3*13
общий делитель у этих чисел равен 1 ⇒ числа взаимно простые

Answer 3

Для доказательства взаимной простоты или её отсутствия двух чисел, мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида или, в некоторых случаях, другими методами.

Доказательство: Числа 483 и 368 не взаимно простые.

1. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД): - Применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(483, 368). - \[ НОД(483, 368) = НОД(368, 483 \mod 368) = НОД(368, 115) \] - Продолжим алгоритм: \[ НОД(368, 115) = НОД(115, 368 \mod 115) = НОД(115, 23) \] - Продолжим ещё раз: \[ НОД(115, 23) = НОД(23, 115 \mod 23) = НОД(23, 0) \]

2. Результат: - Алгоритм Евклида завершился, и мы видим, что НОД(23, 0) = 23. - Таким образом, НОД(483, 368) = 23, что не является единицей.

3. Вывод: - Так как НОД(483, 368) ≠ 1, числа 483 и 368 не взаимно простые.

Доказательство: Числа 468 и 875 взаимно простые.

1. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД): - Применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(468, 875). - \[ НОД(468, 875) = НОД(875, 468 \mod 875) = НОД(875, 468) \] - Продолжим алгоритм: \[ НОД(875, 468) = НОД(468, 875 \mod 468) = НОД(468, 407) \]

2. Результат: - Продолжим ещё раз: \[ НОД(468, 407) = НОД(407, 468 \mod 407) = НОД(407, 61) \] - Продолжим ещё раз: \[ НОД(407, 61) = НОД(61, 407 \mod 61) = НОД(61, 0) \]

3. Вывод: - Алгоритм завершился, и мы видим, что НОД(61, 0) = 61. - Так как НОД(468, 875) = 61, и 61 - это единственный делитель, общий для 468 и 875, числа 468 и 875 взаимно простые.

Таким образом, доказано, что числа 483 и 368 не взаимно простые, а числа 468 и 875 взаимно простые.