Question

В трапеции abcd ab=bc=cd, ad=2bc. С центром в точке a проведена окружность радиусом, равным ab. Каково взаимное расположение этой окружности и прямой bd?

Answer 1

1)abcd - равнобедренная трапеция; ad=2dc, опустим высоты вe, cf на ad, ebcf - прямоугольник; bc=ef, ae=fd=1/2R (ab=bc=cd=R по условию);
2) рассм. тр-к аве; ае=1/2ав (гипотенузы); значит угол аве=30гр., угол а=60гр. (по свойству острых углов прямоуг. тр-ка);
3) углы а и авс - внутренние односторонние при параллельных вс и ad и секущей ав; угол авс=180-60=120гр.;
4)рассм. тр-к bcd; он равнобедренный по условию; угол с=120гр.(трапеция равнобедренная); угол свd=(180-120)/2=30гр.;(углы при основании равны);
5)угол авd=углу авс-угол свd =120-30=90гр., ав перпендикулярна  вd; ав - радиус окружности, значит вd - касательная к окружности  - это ответ.