Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 13 cos2x- 13sin2x+ 1

Answer 1

Используем формулу сложения синуса и косинуса одного угла:
$a*cos\theta+b*sin\theta = \sqrt{a^2+b^2}*sin(\theta+\alpha)$

Тогда твоё уравнение примет вид:
$y= 13*cos2x-13*sin2x+1 =\sqrt{13^2+13^2}*sin(2x+\alpha)+1$
$=13\sqrt{2}*sin(2x+\alpha)+1$
Где $\alpha$ - это некоторый угол, не зависящий от x.
Далее заметим, что sin(t) всегда больше или равен -1 и меньше или равен 1, если t может пробежать всю окружность от -2pi до 2pi. Так как $\alpha$ не зависит от x, то $2x+\alpha$ будет пробегать все числа на тригонометрической окружности и следовательно $sin(2x+\alpha)$ всегда больше или равен -1 и меньше или равен 1.
В общем имеем следующее:
$-1\leq sin(2x+\alpha) \leq 1$ =>
$-13\sqrt{2}+1 \leq 13\sqrt{2}*sin(2x+\alpha)+1 \leq 13\sqrt{2}+1$
$-13\sqrt{2}+1 \leq y \leq 13\sqrt{2}+1$
То есть наибольшее и наименьшие значения:
$-13\sqrt{2}+1$,  $13\sqrt{2}+1$