Question

Розвязати нерівність |х-1|+|5-х|≥4

Answer 1

Х+х≥4-1-5 2х≥ -2 |:2 х≥ -1

Answer 2

Звичайно, розв’язання нерівності |x - 1| + |5 - x| ≥ 4 вимагає кількох кроків. Почнемо з розбиття його на окремі випадки в залежності від того, як змінюються вирази всередині модулів.

1. Для виразів в модулях існують три можливі випадки:

a) Якщо \(x \ge 5\) (значення x більше або дорівнює 5). b) Якщо \(1 \le x < 5\) (значення x від 1 до 5, не включаючи 5). c) Якщо \(x < 1\) (значення x менше 1).

2. Далі, позначимо вираз в модулі як від’ємне або додатне значення в кожному випадку:

a) Для \(x \ge 5\): |x - 1| = x - 1 (так як \(x - 1 \ge 0\)) і |5 - x| = 5 - x (так як \(5 - x \le 0\)). Отже, нерівність буде виглядати так: \(x - 1 + (5 - x) \ge 4\).

b) Для \(1 \le x < 5\): |x - 1| = x - 1 (так як \(x - 1 \ge 0\)) і |5 - x| = x - 5 (так як \(5 - x \ge 0\)). Отже, нерівність буде виглядати так: \(x - 1 + (x - 5) \ge 4\).

c) Для \(x < 1\): |x - 1| = 1 - x (так як \(x - 1 < 0\)) і |5 - x| = x - 5 (так як \(5 - x \ge 0\)). Отже, нерівність буде виглядати так: \(1 - x + (x - 5) \ge 4\).

3. Розв’язуємо кожну нерівність:

a) \(x - 1 + (5 - x) \ge 4\) \[x - 1 + 5 - x \ge 4\] \[4 \ge 4\]

b) \(x - 1 + (x - 5) \ge 4\) \[2x - 6 \ge 4\] \[2x \ge 10\] \[x \ge 5\]

c) \(1 - x + (x - 5) \ge 4\) \[-4 \ge 4\]

4. Тепер враховуємо знайдені діапазони значень:

- Для \(x \ge 5\) нерівність є правдивою для будь-якого значення x з цього діапазону. - Для \(1 \le x < 5\) нерівність виконується лише при \(x \ge 5\). - Для \(x < 1\) нерівність не виконується ні для одного значення x з цього діапазону.

Отже, розв’язок цієї нерівності - \(x \ge 5\).