Question

При каких значениях t уравнение x^2+(t+2)x+8x+1>0 удовлетворяется при всех значениях x

Answer 1

X^2+(t+2+8)x+1>0 при D<0,
D=(t+10)^2-4*1*1=t^2+20t+100-4=t^2+20t+96<0,
D1=100-96=4,
t1=-10+2=-8,
t2=-10-2=-12, ветви вверх; f(t)<0 при t (-12;-8)

Answer 2

x^2+(t+10)x+1>0; Это парабола, ветви которой направлены верх. Надо найти при каком t парабола будет выше оси 0x то есть не будет иметь вещественных корней.
Квадратное уравнение не имеет вещественных корней, если дискриминант меньше нуля
D<0;
D=(t+10)^2-4<0;
(t+10)^2<4;
(t+10)^2<2^2; так как степени одинаковые, значит левое основание должно быть меньше правого:
t+10<2;
t<-8;
Значит при любом t<-8, неравенство будет верным при любых значениях x.

Answer 3

Уравнение x^2+(t+2)x+8x+1>0 можно преобразовать к виду x^2+(t+10)x+1>0. Для того, чтобы найти значения параметра t, при которых это неравенство выполняется при всех x, нужно рассмотреть дискриминант квадратного трехчлена D = (t+10)^2-4. Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней и сохраняет знак при всех x. Поскольку коэффициент при x^2 положительный, то квадратный трехчлен будет положительным при всех x. Значит, нужно решить неравенство D < 0, то есть (t+10)^2-4 < 0. Решая это неравенство, получаем -2 < t < -18. Ответ: уравнение x^2+(t+2)x+8x+1>0 удовлетворяется при всех значениях x, если -2 < t < -18. Для более подробного объяснения, вы можете посмотреть [этот сайт](https://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-s-parametrom/), где дан пример решения квадратного уравнения с параметром.