Question

Помогите пожалуйста Исследуйте функцию на возрастание,убывание и экстремумы y=x³-9x²+24x-7

Answer 1

ДАНО
Y = x³ - 9x² +24x - 7
ИССЛЕДОВАНИЕ
1 Область определения - Х∈(-∞;+∞)
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х ≈ 0.33.
3. Пересечение с осью У.  У(0) = -7.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞
5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x).
Функция ни чётная ни нечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² - 18*x + 24..
7. Корни производной при Х1=2. Х2 =4.
Максимум Ymax= 13 ,при х = 2,
Минимум – Ymin=9 при х = 4..
Возрастает - Х∈(-∞;2)∪(4;+∞) , убывает = Х∈(2;4).
8. Вторая производная - Y"(x) = 6x - 18.
9. Точка перегибаY"(x)=0 при X=3.
Выпуклая “горка» Х∈(-∞;3),Вогнутая – «ложка» Х∈(3;+∞).
10. График в приложении.

Answer 2

Я могу помочь вам исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Для этого я буду использовать производную функции и её знак.

Функция y = x³ - 9x² + 24x - 7 имеет область определения x ∈ R. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно найти производную функции и решить неравенство f'(x) > 0 и f'(x) < 0.

Производная функции f'(x) = 3x² - 18x + 24. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. D = (-18)² - 4 * 3 * 24 = 36. Корни уравнения x₁ = (18 - √36) / 6 = 2 и x₂ = (18 + √36) / 6 = 4.

Теперь нужно построить таблицу знаков производной функции и определить, где она положительна, а где отрицательна.

| x | (-∞; 2) | 2 | (2; 4) | 4 | (4; +∞) | | f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале (2; 4), а убывает на интервалах (-∞; 2) и (4; +∞).

Чтобы найти экстремумы функции, нужно подставить значения x₁ и x₂ в исходную функцию и найти соответствующие значения y.

y₁ = f(2) = 2³ - 9 * 2² + 24 * 2 - 7 = -15 y₂ = f(4) = 4³ - 9 * 4² + 24 * 4 - 7 = -23

Таким образом, функция имеет минимум в точке (2; -15) и максимум в точке (4; -23).

Надеюсь, это ответило на ваш вопрос.