Question

Помогите решить пример по интегралам. Интеграл от ,в числителе 1-√x В знаменателе √x(1+x), всё это выражение умножается на dx. Если не понятно,то могу в комменты скинуть скрин примера.

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Для решения данного интеграла, интеграл от `(1-√x)` в знаменателе `(√x(1+x))`, умноженного на `dx`, можно использовать метод частичных дробей. Давайте разложим дробь на простые слагаемые.

Разложение на простые слагаемые:

1. Найдем общий знаменатель для разложения на простые слагаемые: `√x(1+x)`. 2. Разложим числитель `1-√x` на простые слагаемые. Общий знаменатель `√x(1+x)` позволяет нам разложить числитель на две дроби: - Первая дробь будет иметь знаменатель `√x`, а числитель будет равен `A`. - Вторая дробь будет иметь знаменатель `(1+x)`, а числитель будет равен `B`. - Таким образом, мы получим следующее разложение: `(1-√x) = A/√x + B/(1+x)`.

Нахождение коэффициентов:

3. Чтобы найти значения `A` и `B`, умножим обе части разложения на общий знаменатель `√x(1+x)`: - `(1-√x) * √x(1+x) = A * (1+x) + B * √x`. - Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: - `√x(1+x) - x(√x(1+x)) = A + Ax + B√x`. - `√x + x√x - x(√x + x√x) = A + Ax + B√x`. - `√x + x√x - x√x - x^2√x = A + Ax + B√x`. - `√x - x^2√x = A + Ax + B√x`. - Теперь сгруппируем слагаемые с `√x` и без `√x`: - `(1 - x^2)√x = (A + B) + Ax`. - Получили систему уравнений: - `A + B = 0` (коэффициент при `√x`). - `A = 0` (коэффициент при `x`). - Решим систему уравнений: - `A = 0`. - `B = 0`. - Таким образом, получаем, что `A = 0` и `B = 0`.

Результат:

4. После нахождения коэффициентов `A` и `B`, разложение на простые слагаемые принимает следующий вид: `(1-√x) = 0/√x + 0/(1+x)`. 5. Теперь мы можем записать исходный интеграл в виде суммы двух интегралов: - `∫((1-√x)/(√x(1+x)))dx = ∫(0/√x)dx + ∫(0/(1+x))dx`. - Оба интеграла равны нулю. 6. Итак, значение данного интеграла равно нулю.

Ответ: Интеграл от `(1-√x)/(√x(1+x))` умноженного на `dx` равен нулю.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут еще вопросы!