Question

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О . Найдите площадь этой трапеции ,если BO=2 ,DO=4 и площадь BOC=6

Answer 1

ΔВОС подобен ΔАОД (у них попарно равны ∠СВО = ∠АДО; ∠ВСО = ∠ДАО). Коэффициент подобия к = 2, т.к. ОД = 2ОВ, тогда  АО = 2·ОС
Площадь ΔВОС можно вычислить по другой формуле:
S = 0,5ВО·ОС·sin ∠BOC
6 = 0.5·2· ОС·sin ∠BOC → ОС·sin ∠BOC = 6
ВД = ВО + ДО = 2 + 4 = 6
 АС = ОС + АО = 3·ОС
Площадь трапеции равна
Sтрап = АС·ВД·sin ∠BOC = 3·OC·ВД·sin ∠BOC = 3 =
= 3 ·ВД·ОС·sin ∠BOC = 3·6·6 = 108
Ответ: 108

Answer 2

Для нахождения площади трапеции \(ABCD\) используем следующую формулу:

\[S = \frac{h}{2} \cdot (BC + AD),\]

где \(h\) - высота трапеции, \(BC\) и \(AD\) - длины оснований.

Для начала рассмотрим треугольник \(BOC\). У нас известна его площадь \(S_{BOC} = 6\) и длины сторон \(BO = 2\) и \(BC\). Площадь треугольника можно выразить через его стороны и высоту \(h_{BOC}\) относительно основания \(BC\):

\[S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot h_{BOC} \cdot BC.\]

Отсюда найдем высоту треугольника \(h_{BOC}\):

\[h_{BOC} = \frac{2 \cdot S_{BOC}}{BC}.\]

Подставим известные значения:

\[h_{BOC} = \frac{2 \cdot 6}{BC} = \frac{12}{BC}.\]

Теперь обратим внимание на треугольник \(DOA\). У него тоже есть высота \(h_{DOA}\) относительно основания \(AD\), и мы знаем, что \(DO = 4\). Также, по свойствам подобных треугольников, отношение высот треугольников \(BOC\) и \(DOA\) равно отношению длин соответствующих сторон:

\[\frac{h_{BOC}}{h_{DOA}} = \frac{BC}{AD}.\]

Мы уже выразили \(h_{BOC}\) через \(BC\), а \(h_{DOA}\) через \(AD\), поэтому подставим значения:

\[\frac{\frac{12}{BC}}{h_{DOA}} = \frac{BC}{AD}.\]

Теперь найдем \(h_{DOA}\):

\[h_{DOA} = \frac{AD \cdot 12}{BC^2}.\]

Мы знаем, что площадь трапеции \(S\) можно выразить через сумму площадей треугольников \(BOC\) и \(DOA\) и основания трапеции:

\[S = S_{BOC} + S_{DOA} = \frac{1}{2} \cdot h_{BOC} \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot h_{DOA} \cdot AD.\]

Теперь подставим найденные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{BC} \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot \frac{AD \cdot 12}{BC^2} \cdot AD.\]

Упростим выражение:

\[S = 6 + \frac{6 \cdot AD}{BC}.\]

Также, у нас есть информация о длинах отрезков \(BO\) и \(DO\), поэтому можем записать:

\[BC = BO + OC = 2 + OC,\] \[AD = DO + OA = 4 + OA.\]

Теперь подставим это в уравнение для площади:

\[S = 6 + \frac{6 \cdot (4 + OA)}{2 + OC}.\]

Также, мы знаем, что точка \(O\) - точка пересечения диагоналей, поэтому \(BOC\) и \(DOA\) подобны:

\[\frac{BC}{OC} = \frac{AD}{OA}.\]

Теперь подставим значения:

\[\frac{2 + OC}{OC} = \frac{4 + OA}{OA}.\]

Решим это уравнение относительно \(OA\). Умножим обе стороны на \(OA\):

\[OA \cdot (2 + OC) = OC \cdot (4 + OA).\]

Раскроем скобки:

\[2OA + OA \cdot OC = 4OC + OA \cdot OC.\]

Упростим:

\[2OA = 4OC.\]

Теперь выразим \(OC\) через \(OA\):

\[OC = \frac{OA}{2}.\]

Теперь подставим этот результат в уравнение для площади:

\[S = 6 + \frac{6 \cdot (4 + OA)}{2 + \frac{OA}{2}}.\]

Упростим дробь:

\[S = 6 + \frac{6 \cdot (4 + OA)}{2 + \frac{OA}{2}} = 6 + \frac{6 \cdot (4 + OA)}{2 + \frac{1}{2} \cdot OA}.\]

Теперь можем приступить к решению уравнения для \(OA\). После его решения, найденное значение \(OA\) подставим в уравнение для площади \(S\). Однако, решение этого уравнения может быть довольно сложным, и его упрощение может потребовать использования численных методов или программного подхода.