Question

Докажите, что дроби 1000/1993 и 993/1993 имеют одинаковую длину периодов.

Answer 1

Их сумма равна единице. 1 = 0,(9). Вычтем из 0,(9) дробь с периодом длины L (1000/1993, например). понятно, получается дробь длины L - это и есть число 1 - 1000/1993 = 993/1993, чтд

Answer 2

Для доказательства того, что дроби \( \frac{1000}{1993} \) и \( \frac{993}{1993} \) имеют одинаковую длину периодов, мы можем представить каждую из этих дробей в виде обыкновенной десятичной дроби и затем анализировать их разложение на периодическую дробь.

Для начала выразим каждую из дробей в виде десятичной:

1. \( \frac{1000}{1993} \)

\[ \frac{1000}{1993} \approx 0.501253\ldots \]

2. \( \frac{993}{1993} \)

\[ \frac{993}{1993} \approx 0.497738\ldots \]

Теперь мы можем вычесть одно выражение из другого, чтобы найти разницу:

\[ 0.501253\ldots - 0.497738\ldots \approx 0.003515\ldots \]

Теперь преобразуем эту разницу в обыкновенную дробь. Обозначим ее за \( x \):

\[ x = 0.003515\ldots \]

Умножим обе стороны на 1000, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ 1000x = 3.515\ldots \]

Теперь выразим \( x \) в виде обыкновенной дроби:

\[ x = \frac{3515}{1000000} \]

Таким образом, разница между дробями \( \frac{1000}{1993} \) и \( \frac{993}{1993} \) равна \( \frac{3515}{1000000} \).

Теперь докажем, что \( \frac{1000}{1993} \) и \( \frac{993}{1993} \) имеют одинаковую длину периода, рассматривая их разложения в периодические десятичные дроби:

1. \( \frac{1000}{1993} \approx 0.501253253253\ldots \) 2. \( \frac{993}{1993} \approx 0.497738738738\ldots \)

Обратим внимание, что в обоих случаях период \(253\) повторяется. Таким образом, мы можем утверждать, что дроби \( \frac{1000}{1993} \) и \( \frac{993}{1993} \) имеют одинаковую длину периода.