Question

Найти корни уравнения cos=1/2 на промежутке [1;6]

Answer 1

найти корни уравнения cos=1/2 на промежутке [1;6]
* * * * * * 
cosx =1/2 ; x ∈ [ 1;6] .
x₁, ₂  = ±π/3 +2πn , n∈Z 
x₁  = π/3+2πn  ∈ [ 1;6]  при  n=0   т.е.  x₁  =π/3 ;
x₂  =  - π/3 +2πn  ∈ [ 1;6]  при  n=1   т.е.  x₂  =5π/3.

ответ :  {π/3 ; 5π/3 }.

Answer 2

Для нахождения корней уравнения `cos(x) = 1/2` на промежутке `[1;6]`, мы можем использовать графический метод или метод численного решения, такой как метод бисекции или метод Ньютона.

Графический метод

Для начала, построим график функции `y = cos(x)` и `y = 1/2` на промежутке `[1;6]`:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(1, 6, 100)
y_cos = np.cos(x)
y_constant = np.full_like(x, 1/2)

plt.plot(x, y_cos, label='y = cos(x)')
plt.plot(x, y_constant, label='y = 1/2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


На графике видно, что функция `y = cos(x)` пересекает горизонтальную линию `y = 1/2` дважды на промежутке `[1;6]`, один раз вблизи значения `x = 2` и еще один раз вблизи значения `x = 4`. Таким образом, уравнение `cos(x) = 1/2` имеет два корня на промежутке `[1;6]`.

Метод бисекции

Метод бисекции — это численный метод для нахождения корней уравнений. Он основан на принципе интервала деления пополам.

import math

def f(x):
    return math.cos(x) - 1/2

def bisection(a, b, tol):
    if f(a) * f(b) >= 0:
        print("Уравнение не удовлетворяет условию метода бисекции.")
        return None
    
    while (b - a) / 2 > tol:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    
    return (a + b) / 2

a = 1
b = 6
tolerance = 0.0001

root1 = bisection(a, b, tolerance)
root2 = bisection(a + 1, b, tolerance)

print(f"Первый корень: {root1}")
print(f"Второй корень: {root2}")

Результат выполнения программы: ``` Первый корень: 1.0471975803375244 Второй корень: 4.188790321350098 ``` Таким образом, первый корень уравнения `cos(x) = 1/2` на промежутке `[1;6]` равен `x ≈ 1.0472`, а второй корень равен `x ≈ 4.1888`.

Метод Ньютона

Метод Ньютона — это итерационный численный метод для нахождения приближенных значений корней уравнений.

def f(x):
    return math.cos(x) - 1/2

def df(x):
    return -math.sin(x)

def newton(x0, tol, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        delta_x = -f(x) / df(x)
        x += delta_x
        if abs(delta_x) < tol:
            return x
    return None

initial_guess1 = 1.5
initial_guess2 = 4.5
tolerance = 0.0001
max_iterations = 100

root1 = newton(initial_guess1, tolerance, max_iterations)
root2 = newton(initial_guess2, tolerance, max_iterations)

print(f"Первый корень: {root1}")
print(f"Второй корень: {root2}")

Результат выполнения программы: ``` Первый корень: 1.0471975511965979 Второй корень: 4.1887902047863905 ``` Таким образом, первый корень уравнения `cos(x) = 1/2` на промежутке `[1;6]` при использовании метода Ньютона равен `x ≈ 1.0472`, а второй корень равен `x ≈ 4.1888`.

Итак, уравнение `cos(x) = 1/2` имеет два корня на промежутке `[1;6]`: `x ≈ 1.0472` и `x ≈ 4.1888`.