Question

У= (корень1+х^2)arctgх-ln(х+(корень1+х^2)) найти производную, распишите подробнее, пожалуйста

Answer 1

Интересная функция
$y= \sqrt{1+x^2}*arctg(x)-ln(x+\sqrt{1+x^2})$
Производная
$y'= \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}*arctg(x)+\sqrt{1+x^2}* \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}*(1+\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}) =$
$= \frac{x*arctg(x)}{\sqrt{1+x^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}*(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) =$
$= \frac{x*arctg(x)}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}*\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} =$
$= \frac{x*arctg(x)}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{x*arctg(x)}{\sqrt{1+x^2}}$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \sqrt{1 + x^2} \cdot \arctan{x} - \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Первое слагаемое: \( \sqrt{1 + x^2} \cdot \arctan{x} \)

Используем производные композиции функций (производную произведения):

Пусть \( u = \sqrt{1 + x^2} \) и \( v = \arctan{x} \).

\( u' = \frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)

\( v' = \frac{d}{dx}\arctan{x} = \frac{1}{1 + x^2} \)

Теперь применим правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

\(\frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2} \cdot \arctan{x}) = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \arctan{x} + \sqrt{1 + x^2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)

2. Второе слагаемое: \( - \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \)

Производная логарифмической функции \( \ln(u) \) равна \( \frac{u'}{u} \).

Пусть \( w = x + \sqrt{1 + x^2} \).

\( w' = \frac{d}{dx}(x + \sqrt{1 + x^2}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)

Теперь применим производную логарифма: \( \frac{d}{dx}(-\ln(x + \sqrt{1 + x^2})) = -\frac{w'}{w} = -\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} \)

Таким образом, производная функции \( y \) будет равна сумме производных её слагаемых:

\(\frac{d}{dx}(y) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \arctan{x} + \sqrt{1 + x^2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}}\)

Можно упростить выражение, объединив некоторые части:

\(\frac{d}{dx}(y) = \frac{x\arctan{x} + \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}}\)

Это будет являться производной данной функции.