Question

Найдите производную функции y=(1/x+8)(5x-2)

Answer 1

$y'=( \frac{1}{x} +8)'(5x-2)+( \frac{1}{x} +8)(5x-2)'=- \frac{1}{x^2} (5x-2)+5( \frac{1}{x} +8)=$$\frac{2-5x}{x^2} + \frac{5}{x} +40= \frac{2-5x+5x+40x^2}{x^2} = \frac{40x^2+2}{x^2}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции \(y=(1/x+8)(5x-2)\), воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования сложной функции (если таковые присутствуют).

Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Применение правила произведения: \[ y = u \cdot v, \] где \(u = (1/x + 8)\) и \(v = (5x - 2)\).

2. Вычисление производных \(u\) и \(v\): - \(u' = \frac{d}{dx}(1/x + 8) = -\frac{1}{x^2}\) - \(v' = \frac{d}{dx}(5x - 2) = 5\)

3. Применение правила произведения: \[ y' = u'v + uv'. \]

Подставим значения производных: \[ y' = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(5x - 2) + (1/x + 8)(5). \]

4. Упрощение выражения: \[ y' = -\frac{5x - 2}{x^2} + 5\left(\frac{1}{x} + 8\right). \]

5. Общий знаменатель: Общий знаменатель для слагаемых \(-\frac{5x - 2}{x^2}\) и \(5\left(\frac{1}{x} + 8\right)\) - это \(x^2\). Приведем к общему знаменателю: \[ y' = -\frac{5x - 2}{x^2} + \frac{5 \cdot x}{x^2} + 40. \]

6. Сложение слагаемых: \[ y' = \frac{-5x + 5x - 2 + 40x^2}{x^2}. \]

7. Упрощение: \[ y' = \frac{40x^2 - 2}{x^2} = 40 - \frac{2}{x^2}. \]

Итак, производная функции \(y=(1/x+8)(5x-2)\) равна \(40 - \frac{2}{x^2}\).