Question

Сравнить числа log1/4 7/4 и log1/4 7/5 (подробное решение) помогите пожалуйста

Answer 1

Необходимо привести их к виду, удобному для сравнения
См. фото.

Answer 2

Давайте решим данную задачу.

У нас есть два выражения: \( \log_{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \) и \( \log_{\frac{1}{4}}{\frac{7}{5}} \).

Для начала вспомним некоторые свойства логарифмов:

1. \( \log_a{b} = c \) означает, что \( a^c = b \). 2. \( \log_a{a^b} = b \). 3. \( \log_a{1} = 0 \).

Теперь применим эти свойства к нашим выражениям:

1. \( \log_{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \) означает, что \( \left(\frac{1}{4}\right)^c = \frac{7}{4} \). 2. \( \log_{\frac{1}{4}}{\frac{7}{5}} \) означает, что \( \left(\frac{1}{4}\right)^d = \frac{7}{5} \).

Решим первое уравнение:

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^c = \frac{7}{4} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 4^{-c} = 7 \]

Теперь применим свойство \( a^{-b} = \frac{1}{a^b} \):

\[ \frac{1}{4^c} = 7 \]

Теперь представим 4 в виде степени:

\[ \frac{1}{2^{2c}} = 7 \]

Умножим обе стороны на \( 2^{2c} \):

\[ 1 = 7 \cdot 2^{2c} \]

Разделим обе стороны на 7:

\[ \frac{1}{7} = 2^{2c} \]

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон:

\[ \log_2{\frac{1}{7}} = \log_2{2^{2c}} \]

Сокращаем степени:

\[ \log_2{\frac{1}{7}} = 2c \]

Теперь делим обе стороны на 2:

\[ c = \frac{1}{2} \log_2{\frac{1}{7}} \]

Точно таким же образом решим второе уравнение:

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^d = \frac{7}{5} \]

Умножим обе стороны на 5:

\[ 5^{-d} = \frac{7}{5} \]

Применим свойство \( a^{-b} = \frac{1}{a^b} \):

\[ \frac{1}{4^d} = \frac{7}{5} \]

Представим 4 в виде степени:

\[ \frac{1}{2^{2d}} = \frac{7}{5} \]

Умножим обе стороны на \( 2^{2d} \):

\[ 1 = \frac{7}{5} \cdot 2^{2d} \]

Умножим обе стороны на \(\frac{5}{7}\) (это обратное отношение):

\[ \frac{5}{7} = 2^{2d} \]

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон:

\[ \log_2{\frac{5}{7}} = \log_2{2^{2d}} \]

Сокращаем степени:

\[ \log_2{\frac{5}{7}} = 2d \]

Теперь делим обе стороны на 2:

\[ d = \frac{1}{2} \log_2{\frac{5}{7}} \]

Теперь у нас есть выражения для \( c \) и \( d \). Однако, чтобы их сравнить, нам нужно проанализировать значения логарифмов. Воспользуемся калькулятором для вычисления числовых значений \( c \) и \( d \) и сравним их.